Physique 23 : Optique géométrique

Prismes

Exercice 1 : Prisme isocèle rectangle.

On considère un prisme isocèle rectangle.

Le rayon incident rentre perpendiculairement à un côté de l'angle droit se refléchi totalement su l'hypoténuse et sort perpendiculairement à l'autre côté de l'angle droit.

a) Montrer que l'angle i mesure 45^o.

b) A quelle relation doit satisfaire l'indice n du prisme pour que l’on se trouve dans le cas d’une réflexion totale ?

c) Comment se comporte alors le prisme ?

d) Quel sera la position du prisme pour qu'il renvoye la lumière en sens inverse.



a) Les angles à la base d'un triangle isocèle rectangle valent 45^o chacun.

Donc la normale fait un angle de 45^o avec le côté horizontal du triangle isocèle rectangle.

Cet angle est le complémentaitre de l'angle i. Ainsi i mesure 45^o .

b) Pour qu’il y ait réflexion totale il faut deux conditions : n > n_air et i > ic ( angle critique) .

La fonction sinus est croissante dans [0, π/2] , don sin i > sin ic

Nous avons : sin ic = n_air/n ( voir démonstration ):

sin i > n_air/n

n > n_air/sin i = 1/sin 45 1/(√2 /2) = √2 = 1.41.

n > 1.41.

c) Le prisme se comporte comme un miroir.

d) Une rotation du prisme de 45 + 90 = 135^o dans le sens horaire donne la position ou la lumière est renvoyée dans le sens inverse (figure b).

Exercice 2 : Prisme et plusieurs reflexions

On considère un prisme de verre ABC d'indice n1, rectangle en A, plongé dans un milieu d'indice n2. L'angle B mesure 74^o.

Un rayon lumineux rencontre le prisme perpendiculairement à AB, puis fait des réflexions en I, J et une réfraction en K.

On considère deux milieux qui entoure le prisme. Le premier est l'air, d'indice n2 = n_air = 1, le deuxième d'indice n2 à déterminer pour que le rayon subisse toujours deux refléxions totales, une en I, et l'autre en J.

1) n1 = 1.5, et n2 = 1

En I, J et K l'angle critique est tel que: n1 sin ic = n2. Donc:

ic = sin^{- 1}(n2/n1) = sin^{- 1}(1/1.50) = 42^o

ic = 42^o

En I, l'angle d'incidence 74^o > ic; il y a donc réflexion totale.

En J, l'angle d'incidence 58^o > ic; il y a donc réflexion totale.

En K, l'angle d'incidence 26^o < ic; il ya donc réflexion partielle.

2) n1 = 1.5 et n2 = ?

• En I, pour avoir une réflexion totale, l'angle d'incidence i doit satisfaire l'inégalité: i > ic . Donc:

n1 sin i > n1 sin ic = n2 , soit n1 sin i > n2

n2 < n1 sin i

n2 < 1.50 sin 74 = 1.442

n2 < 1.442

• En J, pour avoir une refléxion totale, l'angle d'incidence i doit satisfaire de nouveau l'inégalité: i > ic . Donc:

n2 < 1.50 sin 58 = 1.272

n2 < 1.272

• En K, pour avoir une refléxion partielle, l'angle d'incidence i doit satisfaire l'inégalité: i < ic

n1 sin i < n1 sin ic = n2

n1 sin i1 < n2

n2 > n1 sin i1

n2 > 1.50 sin 26 = 0.658

n2 > 0.658

On a donc 3 inégalités:

En I: n2 < 1.442
En J: n2 < 1.272
En K: n2 > 0.658

Qu se réduisent à deux égalités:

n2 < 1.272
n2 > 0.658

En tout

0.658 < n2 < 1.272