Mathématiques 34:
Géométrie
Optique géométrique
Démontrer un résultat en s'appuyant sur
les propriétés et les théorèmes appris

1. Le télescope

Un télescope est un instrument d'optique qui permet d'augmenter la taille apparente et la luminosité des objets célestes ponctuels difficilement invisibles à l'œil nu.

Les télescopes sont principalement utilisés en astronomie, car leurs réglages ne les rendent propices qu'aux observations d'objets très éloignés et se déplaçant relativement lentement.

Le mot telescope vient du grec tele signifiant loin et skopein signifiant regarder.

Il existe plusieurs types de télescopes. Nous allons considérer ici le télescope de Newton et l'étudier du point de vue géométrique. Plus précisément, nous allons démontrer, en utilisant des propriétés simples de géométrie, que l'angle oculaire est égal à l'angle d'incidence du rayon céleste par rapport au miroir parabolique principal de cet instrument.

2. Le télescope de Newton

Le télescope de Newton est composé de deux miroirs.

Le miroir primaire permet de collecter la lumière provenant du ciel, tandis que le miroir secondaire permet de rediriger la lumière collectée vers l'oculaire situé sur le côté du tube.

3. Lois de la réflexion

Lorsqu'un rayon lumineux frappe une surface, il se réfléchi.

Si la surface réfléchissante est irrégulière, on dit que la réflexion est diffuse . C'est cette réflexion qui nous permet de voir les objets éclairés.

Si la surface réfléchissante est très lisse, on dit que la réflexion est spéculaire . C'est le cas des réfléxions sur les miroirs. Elle produit une image virtuelle d'uun objet.

• Le rayon incident est un rayon de lumière qui arrive sur la surface réfléchissante.

L'angle d'incidence est l'angle entre le rayon incident et la normale à la surface.

• Le rayon réfléchi est le rayon de lumière qui s'éloigne de la surface réfléchissante après avoir subi une réflexion.

L'angle de réflexion est égal à l'angle formé par la normale et le rayon réfléchi .

• La normale est la droite perpendiculaire à la surface réfléchissante . Elle passe par le point d'impact du rayon incident sur la surface.

• Première loi de la réflexion

Le rayon incident, la normale et le rayon réfléchi se trouvent tous dans un même plan, le plan d'incidence.

• Deuxième loi de la réflexion

L'angle d'incidence est égal l'angle de réflexion.

4. Géométrie du télescope de Newton

a)

1. Les données (hypothèses):

• Les rayons lumineux arrivent au télescope parallèlement aux parois du tube.

• L'angle entre les parois du tube et le miroir secondaire plan est égal à 45^o.

• L'oculare est parallèle au parois du tube, don au rayon incident.

• L'angle du rayon incident sur le miroir primaire parabolique fait un angle x recherché avec l'horizontale.

2. Démontration

Au fur et à mesure des calculs, nous utilisons deux propriétés de géométrie:

• L'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion (deuxième loi de la réflexion).

• La somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180^o, ou

• L'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux angles qui ne lui sont pas adjacents.

• Les angles alternes-internes formés par deux droites parallèles et une sécante sont isométriques

• Deux angles opposés par le sommet sont isométriques.




2. Conclusion

l'angle oculaire est égal à l'angle entre l'horizontale et le rayon réfléchi du rayon incident céleste sur le miroir parabolique principal du télescope.

Example : mes(∠x) = 84^o.

b)

L'angle d'arrivée à l'oculaire des rayons lumineux est toujours isométrique à l'angle qu'ils forment avec l'horizontale.