Physique 23 : Optique
Miroirs
Equation fondamentale des miroirs
Équation générale
Agrandissement

1. Equation générale des miroirs :
origine au centre de courbure C:

Nous avons établi la relation fondamentale des miroirs sphériques, dans les conditions de Gauss:

Cette expression est déterminée à partir d'une géométrie particulière. C'est à dire à partir d'une position du point objet placé avant le centre de courbure.

Cependant, la relation des miroirs garde toujours sa forme à un signe près dépendamment de la position du point objet.

Ainsi, pour donner à cette formule une forme générale, valide pour toute situation:

• on fixe une direction et un sens: Direction de l'axe optique et sens de propagation de la lumière,

• on fixe une origine pour les distances, couramment le centre du miroir.

• écrit les distances en mesure algébrique.

La relation fondamentale des miroirs sphériques prend la forme définitive suivante :

$$\large\bf{ \frac{1}{\overline{CA'}} + \frac{1}{\overline{CA}} = \frac{2}{\overline{CS}} = \frac{1}{f} }$$

2. Equation générale des miroirs :
origine au sommet S du miroir:

Partons de :

$\large\bf{ \frac{1}{\overline{CA'}} + \frac{1}{\overline{CA}} = \frac{2}{\overline{CS}} }$

Nous avons:

$\bf{ \overline{CA} = \overline{CS } + \overline{SA} \\ \overline{CA'} = \overline{CS } + \overline{SA'} }$

Donc:

$\large\bf{ \frac{1}{\overline{CA'}} + \frac{1}{\overline{CA}} = \frac{1}{\overline{CS } + \overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{CS } + \overline{SA}} = \frac{2}{\overline{CS}} }$

Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens donne:

$\bf{ 2 (\overline{CS } + \overline{SA})(\overline{CS } + \overline{SA'}) = \overline{CS} ( 2\overline{CS} + \overline{SA} + \overline{SA'} ) }$

On développe et on simplifie:

$\bf{ \overline{CS } \times \overline{SA} + \overline{CS } \times \overline{SA'} = - 2\overline{SA} \times \overline{SA'} }$

On divise par le produit: $\overline{SA} \times \overline{SA'}$

$\bf\large{ \frac{1}{\overline{SA }} + \frac{1}{\overline{SA' }} = - \frac{2}{\overline{CS}} }$

On obtient:
$$\bf\color{brown}{{ \frac{1}{\overline{SA }} + \frac{1}{\overline{SA' }} = \frac{2}{\overline{SC}} = \frac{1}{\overline{SF}} = \frac{1}{f} }}$$
La relation fondamentale des miroirs sphériques garde toujours la même forme. C'est la formule que nous utiliserons .