D'après le théorème de Thalès:

FA'/FO = A'B'/AB = OA'/OA

FA' = OA' - OF
FO = OF = ƒ

(OA' - OF) /FO = OA'/OA

(OA' - ƒ ) /ƒ = OA'/OA

OA'/ƒ = OA'/OA + 1 = (OA' + OA)/OA

1/ƒ = (OA' + OA)/OAOA' = 1/OA' + 1/OA

1/OA' + 1/OA = 1/ƒ

2. Équations des lentilles:
lentille divergente

D'après le théorème de Thalès:

FA'/FO = A'B'/AB = OA'/OA

FA' = FO - A'O
FO = ƒ

(FO - A'O) /FO = OA'/OA

(ƒ - A'O) /ƒ = OA'/OA

A'O/ƒ = 1 - OA'/OA = (OA - OA')/OA

1/ƒ = (OA - OA')/OA A'O = 1/A'O - 1/OA

1/OA' - 1/OA = 1/ƒ

2. Équations algébriques des lentilles

Bien entendu, les valeurs des segments utilisées pour construire ces formules dimentionnelles qui peuvent prendre différentes valeurs. Ces valeurs ne sont pas algébriques.

Que ce soit une lentille convergente ou divergente, pour n'importe quelle situation, c'est à dire, pour n'importe quelle position de l'objet AB sur l'axe optique, une démonstartion géométrique, via le théorème de Thalès, conduira toujours à une formule similaire aux deux formules trouvées, à un signe près.

Nous allons poser alors une formule algébrique générale, donc valable dans tous les cas.

Redémontrons d'abord ces deuc formules algébriquement:

1. Lentille convergente:

$\bf{ \frac{\overline{FA'}}{\overline{FO}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} \\ \overline{FA'} = \overline{FO} + \overline{OA'} \\ \frac{\overline{FO} + \overline{OA'} }{\overline{FO}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} \\ \frac{- \overline{OF} + \overline{OA'} }{- \overline{OF}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} \\ 1 - \frac{\overline{OA'} }{\overline{OF}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} \\ 1 - \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{\overline{OA'} }{\overline{OF}} \\ \frac{1}{\overline{OF}} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} }$

$\bf{ \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{\overline{OF}} }$

2. Lentille divergente:

$\bf{ \frac{\overline{FA'}}{\overline{FO}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{FA'}}{\overline{FO}} \\ \overline{FA'} = \overline{FO} + \overline{OA'} \\ \frac{\overline{FO} + \overline{OA'} }{\overline{FO}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} \\ = 1 + \frac{\overline{OA'} }{\overline{FO}} \\ \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} - 1 = \frac{\overline{OA'}}{\overline{FO}} \\ \frac{1}{\overline{FO}} = \frac{1}{\overline{OA}} - \frac{1}{\overline{OA'}} \\ \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = - \frac{1}{\overline{FO}} \\ \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{\overline{OF}} }$

$\bf{ \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{\overline{OF}} }$

3. Équation algébrique générale des lentilles minces

Nous adoptons la formule suivante:

$\large\bf\color{red}{ \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{\overline{OF}} }$

4. Exemples

Exemple 1

Déterminons la position de l'image d'un objet situé 6 cm devant une lentille divergente de 3 cm de longueur focale.

On applique la formule:

$\bf { \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{- 6} = \frac{1}{\overline{-3}} \\ \frac{1}{\overline{OA'}} = - \frac{1}{6} - \frac{1}{\overline{3}} = - \frac{1}{2} \\ \overline{OA'} = - 2 \; cm \\ } \\ \text{ } \\ \text{L'objet est situé à gauche de la lentille.}$

Exemple 2

Déterminons la position de l'image d'un objet situé 6 cm devant une lentille convergente de 3 cm de longueur focale.

On applique la formule:

$\bf { \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{- 6} = \frac{1}{\overline{+3}} \\ \frac{1}{\overline{OA'}} = - \frac{1}{6} + \frac{1}{\overline{3}} = \frac{1}{6} \\ \overline{OA'} = + 6 \; cm \\ } \\ \text{ } \\ \text{L'objet est situé à droite de la lentille.}$

Exemple 3

Déterminons la longeur focale d'une lentille et sa nature si elle conjugue un objet réel situé à 6 m de son centre en son image réelle située à 3 m également de son centre.

On applique la formule:

$\bf { \frac{1}{\overline{+ 3}} - \frac{1}{- 6} = \frac{1}{\overline{OF}} \\ \frac{1}{\overline{+ 3}} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} = \frac{1}{\overline{OF}} \\ \overline{OF}= + 2 \; cm. } \\ \text{ } \\ \text{La lentille de distance focale f = + 2 cm est convergente. }$