Physique 23 : Optique géométrique

Dioptres sphériques et lentilles
exercices divers

Exercice 1 : Lentille demi-boule

Considère une lentille demi-boule de centre O, de sommet S, de rayon R = OS = 5 cm = et d'indice n2 = 1,5 , dans l'air d'indice n = 1.

1. Dans l'approximation de Gauss, déterminer la position du foyer image F de cette lentille.

2. La lentille est éclairée par des rayons parallèles à l'axe optique OS, à la distance R/2 de cet axe.

En réalité, l'image ne se forme pas sur le foyey image F. Elle se forme à un point G proche de F. Déterminer alors l'aberration de sphéricité FG.

1. Dans l'approximation de Gauss, la relation de conjugaison d'un dioptre sphérique avec origine au centre O s'écrit :

n2/OA' - n1/OA = (n2 - n1)/OC

OC = OS = R

n2/OA' - n1/OA = (n2 - n1)/R

L'objet st à l'infini, donc OA = ∞ . D'où:

n2/OA' = (n2 - n1)/R

OA' = n2 R /(n2 - n1)

L'objet st à l'infini, donc son image se forme sur le foyer image F D'où:

OF = n2 R /(n2 - n1)

OF = 1.5 x 5 /(1.5 - 1) = 15 cm.

OF = 15 cm.



2. Dans le triangle OHI :

tan i = IH/OH

OH = IH/tan i

Dans le triangle GIH :

tan(r - i) = IH/HG

HG = IH/tan(r - i)

Or OG = OH + HG = IH/tan i + IH/tan(r - i)

IH [1/tan i + 1/tan(r - i)]

OG = (R/2) [1/tan i + 1/tan(r - i)]

sin i = (R/2)/R = 1/2. D'où I = 30^o

La loi de Snell-Descartes s'ecrit:

n2 sin i = n1 sin r . D'où:

sin r = (n2/n1) sin i

sin r = (1.5 /1) sin 30 = 1.5 x 1/2 = 3/4 = 0.75.

r = sin^{- 1} (0.75) = 48.6^o

OG = (5/2) [1/tan(30) + 1/tan(18.6)] = 11.76

OG = 11.76 cm

GF = OF - OG = 15 - 11.76 = 3.24 cm

GF = 3.24 cm

Exercice 2 : Lentille boule

On considère une lentille sous forme de boule en verre de rayon R et d’indice n2, dans l'air d'indice égale à n1 = 1.

On veut montrer dans l’approximation de Gauss qu’elle est équivalente à une lentille mince.

1. Déterminer la relation de conjugaison de cette lentille boule et en déduire sa distance focale image f en fonction de R et de n2.

2. Donner l’expression du grandissement γ de cette lentille.

1. L'image A" de A par le premier dioptre sphérique de sommet S est donnée par la relation de conjugaison suivante avec origine au centre O :

n1/OA" - n2/OA = (n1 - n2)/OS

L'image A' de A" par le second dioptre sphérique de sommet S est donnée par la relation de conjugaison suivante avec origine au centre O :

n2/OA' - n1/OA" = (n2 - n1)/OS

En fontion de R, on a:

n1/OA" - n2/OA = (n1 - n2)/(- R)

n2/OA' - n1/OA" = (n2 - n1)/(+ R)

Additionnant memebre à membre, il vient;

n2/OA' - n2/OA = 2 (n2 - n1)/R

1/OA' - 1/OA = 2 (n₂ - n₁)/n₂R

On peut ecrire aussi:

1/OA' - 1/OA = 1 /(n2R /2(n2 - n1))

C'est la relation de conjugaison d'une lentille mince de la longueur focale:

ƒ = n₂ R /2(n₂ - n₁)

2. Le grandissement du premier dioptre est:

$\large\bf\color{indigo}{ \gamma_1 = \frac{\overline{OA"}}{\overline{OA}} }$

Le grandissement du second dioptre est:

$\bf\color{indigo}{ \large\gamma_2 = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA"}} }$

Le grandissement du système de la lentille boule est:

$\bf\color{indigo}{ \large\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{A"B"}}{\overline{AB}} \times \frac{\overline{A'B'}}{\overline{A"B"}} = \gamma_1 \times \gamma_2 }$

Le système de la lentille boule est équivalent à une lentille mince de longueur focale ƒ = n₂ R /2(n₂ - n₁), et
d'agrandissement γ = γ₁ x γ₂, produit des agrandissements des deux dioptres.