Mathematics 2: Optimisation linéaire
Examples

Athlétisme

Chaque semaine Jacinthe fait du vélo et du gogging.

Elle fait AU MOINS 3 fois plus de vélo que du gogging.

Chaque activité lui fait dépenser 600 calories/heure.

Par semaine, elle veut dépenser de 7 200 à 12 000 calories par semaine.

De plus, elle veut faire au moins 2 heures de vélo et au moins 4 heures de gogging par semaine.

Jacinthe estime, tout en respectant les contraintes, consacrer 20 heures à l'une ou à l'autre des activirés et maximiser le temps consacré à son entraînement hebdomadaire. A-t-elle raison?

x: nombre d'heures de vélo par semaine.

y: nnombre d'heures de gogging par semaine.

• x ≥ 2

• y ≥ 4

• x ≥ 3y →
y ≤ x/3

• 7200 ≤ 600 x + 600 y ≤ 12000
→ 12 ≤ x + y ≤ 20
→ 12 ≤ x + y ET x + y ≤ 20
y ≥ - x + 12
y ≤ - x + 20




À partir du graphe, on remarque que les contraintes:

1. Jacinthe fait AU MOINS 3 fois plus de vélo que du gogging x ≥ 3y, est superflue et donc rend la contrainte
2. Jacinthe veut dépenser de 7200 calories/semaine : 7200 ≤ 600 x + 600 y, ou 12 ≤ x + y inutile.

La contrainte:

Jacinthe fait AU PLUS 3 fois plus de vélo que du gogging x ≤ 3y, ou ce qui revient au même, Jacinthe fait AU MOINS 3 fois moins de gogging que de vélo 3y ≥ x, enlève l'ambiguité.

Ainsi, on doit changer AU MOINS 3 fois plus de vélo que du gogging par AU PLUS 3 fois plus de vélo que du gogging.

Voici de nouveaux les contraintes:

• x ≥ 2
• y ≥ 4
• x ≤ 3y
y ≥ - x + 12
y ≤ - x + 20

Sommets Fonction Z(max) = x + y Valeurs de Z A(2, 10) 2 + 10 12 B(2, 18) 2 + 18 20 *** C(15, 5) 15 + 5 20 *** D(12,4) 12 + 4 16 E(8,4) 8 + 4 12 Autre points Fonction Z(max) = x + y Valeurs de Z (0, 20) 0 + 20 20 (20, 0) 20 + 0 20 *** : à considérer     Pour maximiser le temps consacré à son entraînement hebdomadaire, Jacinthe a le choix de faire 2 heures de vélo et 18 heures de gogging ou de faire 15 heures de vélo et 5 heures de gogging . Pour le poin(0,20), la contrainte: • x ≥ 2 n'est pas respectée. Pour le poin(20, 0), les contraintes: • y ≥ 4 , et • x ≤ 3y ne sont pas respectées. Réponse: Consacrer 20 heures à l'une ou à l'autre des activirés maximise aussi le temps consacré à son entraînement hebdomadaire, mais les contraintes ne sont pas respectées.

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