Mécanique
Je confirme mes acquis
Exercices
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Statique: Les forces
Rappels
1. Première loi de la
Statique:
Dans un système isolé et qui est statique, la somme
des forces extérieures qui s'execent sur lui est nulle.
2. Cosinus et sinus :
Il suffit de tracer une perpendiculaire à l'un des côtés
de l'angle pour obtenir una angle droit. Ce qui
permet d'ecrire les rapports
trigonométrique de cet angle.
Remarquer que:
• pour un angle aigu, le cos et le sin sont
tous les deux positifs.
• pour un angle obtu, le cos est négatif et le sin
est positif.
• pour un angle plus grand qu'un angle
plat, le cos est négatif et le sin
est négatif.
• pour un angle de mesure comprise entre 270o et
360o, le cos est positif et le sin
est négatif.
Problème 1
Une masse suspendue par un fin s'appuie sur une
barre. Le fil est accroché à un support.
a) On veut savoir quelles sont toutes les forces qui s'exercent
sur le système : masse + barre + fil + support.
a) On veut savoir aussi quelles sont toutes les forces qui s'exercent
juste sur le système : barre.
c) Application α = 40.79o, P = 600 N.
Voici représentées toutes les forces
appliquées au système : masse + barre + fil + support:
Pour chaque action, il lui correspond une réaction de même
module, de même direction , mais de sens opposé.
De telle sorte que la première loi de la Statique soit vérifiée
en chaque point pris isolément et aussi pour le système
en entier.
On projette les forces verticalement (l'axe de ordonnées y)
et horizontalement (l'axe des abscisses x) pour
faire des calculs simples.
Au point A , Ta équilibre le poids P.
Au point B Fb équilibre Tb. On donc |P| = |Tb| = |Fby|.
Ainsi, la réaction Rb au point B est équilibrée par
Fby. Donc Rb est est horizontale.
On élimine
par conséquent les forces mères d'où sont issues ces projections.
Dans ce schéma, toutes les forces du sytème
masse + barre + fil + support sont représentées.
Ces forces sont horizontales ou verticales, ce qui permet de
faire des calculs algébriques.
On s'interesse maintenant au seules forces sur la barre [OB]:
Il ya P, Fb, et Dx1.
La barre est en équilibre, donc la somme des forces
extérieures qui s'exercent sur elles est nulle.
On construit les composantes Fbx et Fby de la force Fb
sur l'axe des x et l'axe des y respectivement.
Fbx équilibre Dx1 qui est la réaction du support
sur la barre.
|Fbx| = |Dx1|
Fby équilibre le poids de la masse suspendue.
|Fbx| = |Dx1|
En utilisant les rapports trigonométriques, on trouve:
Fbx / Fb = cos α (1)
Fby / Fb = sin α (2)
La force Fby équilibre le poids P, donc
Fby = P
La relation (2) donne:
Fb = Fby /sin α = P/ sin α
La relation (1) donne:
Fbx = Fb cos α = P cos α / sin α =
P/ tan α
On a donc:
Fby = P
Fb = P/ sin α
Fbx = P/tan α
Application:
P = 600 N, α = 40.79o
Fby = 600 N .
Fb = 600/ sin 40.79o = 918.43 N .
Fbx = 600/tan 40.79o = 695.35 N .
Problème 2
Une masse de poids P est suspendue par deux
cables accrochés au plafond.
On veut connaitre les valeurs des tensions
sur le cable dues au poids de
la masse, selon des angles donnés
qu'elles font avec le plafond.
Le système : plafond + cables + masse est
statique. La somme des forces extérieures à ce système
est nulle.
On s'interesse au système mass + cables.
Au point A trois forces sont présentes;
Le poids de la masse et les deux tensions T1 et T2.
En ce point A, la somme des forces extérieures
est nulle:
On représente les forces au point A:
La directon du poids P est la verticale, sn sens est
du haut en bas.
Les tensions T1 et T2 tirent vers le haut. Leurs
orientations sont données par les angles qu'elles
font avec l'horizontale du plafond.
On projette les tensions T1 et T2 sur un axe vertical et sur
un axe horizontal, afin de faire des calculs algébriques.
Application:
P = 3.46 kN, α = 25.76o, et β = 39.81o
On peut utiliser la relation trigonométrique :
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
T2 = 3.46 cos 25.76/sin(25.76 + 39.81) = 3.42 kN
T1 = 3.46 cos 39.81/sin(25.76 + 39.81) = 2.92 kN
T2 = 3.42 kN
T1 = 2.92 kN
Problème 3
Trois tensions Fa, Fb et Fc sont concourantes au point P.
On veut connaitre la valeur et l'orientation de leur résultante
F.
On projette ces trois forces horizontalement et verticalement
afin de pouvoir fare des calculs algébriques
Application:
Fa = 1.232 kN
Fb = 969 N
Fc = 1.200 kN
a = 33.71o
b = 14.28o
c = 18.43o
Fcx = 1.200 cos 18.43 = 1.138 kN
Fcy = 1.200 sin 18.43 = 0.379 kN
Fbx = 0.969 sin 14.28 = 0.239 kN
Fby = 0.969 cos 14.28 = 0.939 kN
Fax = 1.232 cos 33.71 = 1.025 kN
Fay = 1.232 sin 33.71 = 0.684 kN
Fx = 1.138 - 1.025 - 0.239 = - 0.126 kN
Fy = 0.684 + 0.939 + 0.379 = 2.002 kN
F2 = Fx2 + Fy2 = 4.024
F = 2.006 kN
F = 2.006 kN
tan θ = Fy/Fx = 2.002/- 0.126 = - 15.889
θ = tan-1 (- 15.889) = -86.399
Orientation θ = - 86.399o
Problème 4
Trois forces sont appliquées au point P.
On veut connaitre la valeur et l'orientation de leur résultante
F.
On projette ces trois forces horizontalement et verticalement
afin de pouvoir fare des calculs algébriques
Application:
F1 = 6.10 kN
F2 = 7.00 kN
F3 = 5.1 kN
a = 45o
b = 30o
F1x = 6.10 sin 30 = 3.05 kN
F1y = 6.10 cos 30 = 5.283 kN
F2x = 0.00 kN
F2y = 7.00 kN
F3x = 5.10 sin 45 = 3.606 kN
F3y = 5.10 cos 45 = 3.606 kN
Fx = 3.606 - 3.05 = 0.556 kN (positive)
Fy = 5.283 + 7.00 + 3.606 = 15.889 kN
(négative)
F2 = Fx2 + Fy2 = 252.769
F = 15.899 kN
F = 15.899 kN
tan θ = Fy/Fx = - 15.889/0.556 = - 28.577
θ tan-1 (- 28.577) = - 87.995
Orientation θ = - 86.399o
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