Mathématiques 45: Algèbre vectorielle:
Opérations sur les vecteurs
Produit vectoriel

1. Introduction

   Lorsqu'on veut serrer un écrou ou le débloquer avec une clé à molette, Il est nécessaire d'exercer une force sur la clé.

L'effet sur l'ecrou est appréciable lorsque les trois conditions suivantes sont satisfaites:

• La force exercée sur la clé est grande,
• Le bras de levier est grand,
• L'orientation de la force est perpendiculaire au bras de levier.

Bras de levier = distance entre l'ecrou est le point d'application de la force.

L'ensemble des trois conditions citées est équivalent au terme de moment de la force.

L'effet sur l'ecrou est appréciable lorsque le moment de la force exercée est apprciable.

Par définition, le moment de la force exercée à ue distance r du centre O est le produit vectoriel de et de. On l'ecrit:

= x

Le symbole x désigne le produit scalaire. On le note aussi par le symbole .

Le vecteur est appelé vecteur position. Son origine est le centre de rotation O.

Le moment d'une force par rapport à un point fixé est une grandeur physique qui est vectorielle.

1. Définitions

Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur.

Dans le plan cartésien, le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur qui est perpendiculaire au plan formés par les deux vecteurs initiaux.

Ainsi l'opération produit vectoriel nécessite un système de référence à trois dimensions: deux dimensions pour le plan qui comprend les deux premiers vecteurs et une troisième dimension pour la droite qui doit supporter le vecteur produit vectoriel résultat.

Le produit vectoriel nécessite des vecteurs avec trois composantes.

Le produit vectoriel de deux vecteurs et est défini par sa norme:

|| x|| = |||| |||| sin θ

θ est l'angle formé par les deux vecteurs .

Le vecteur x est un vecteur. Le support de ce produit vectoriel est une drooite perpendiculaire au plan formé par les vecteurs et.


En termes de composantes des deux vecteurs, si
(x1, y1, z1) et (x2, y2, z2), alors les composantes du vecteur x sont:

(y1z2 - y2z1, x2z1 - x1z2, x1y2 - x2y1)

3. Exemple

Soient les vecteurs suivants:

(1, 0, 0) et(0, 1, 0)

Leur produit vectoriel est le vecteur

= x

de composantes (0x0 - 1x0, 0x0 - 1x0, 1x1 - 0x0) = (0, 0, 1).

Sa norme est |||| |||| sin 90° = 1 x 1 x 1 = 1.

Ainsi le vecteur est normé.

Dans le repère (O, x, y, z), se trouve sur l'axe Ox, sur l'axe Oy et leur produit vectoriel sur l'axe Oz.