Mathématiques 45: Algèbre vectorielle
Produit vectoriel

1. Produit vectoriel: Le Cas simple

Deux vecteurs $\vec{\mathbf{V_1}}$ et $\vec{\mathbf{V_2}}$ supportés par les axes.

$\color{black}{\text{On considère deux vecteurs }} \text{} \vec{\mathbf{V_1}} \text{ et } \text{} \vec{\mathbf{V_2}} \text{ } \color{black}{\text{ sur le plan oxy, dans l'espace oxyyz}} \\ \text{ } \\ \vec{\mathbf{V_1}} \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ 0 \end{bmatrix} \; et \; \; \vec{\mathbf{V_2}} \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \text{ } \\ \color{green}{\text{Le produit vectoriel de }} \vec{V_1} \text{ } \color{green}{\text{et}} \text{ } \vec{V_2} \color{green}{\text{ , dans un repère orthonormé,}} \\ \color{green}{\text{est le vecteur, défini par }} \\ $ \[\vec{\mathbf{V}_1} \times \vec{\mathbf{V}_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x1 & y1 & 0 \\ x2 & y2 & 0 \end{vmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ x_1 y_2 - y_1 x_2 \end{bmatrix} \] $\color{green}{\text{dirigé selon l' axe du vecteur }} \vec{\mathbf{k}}.$

2. Produit vectoriel: Cas général

$\color{green}{\text{On considère deux vecteurs quelconques dans l'espace oxyyz } } \vec{\mathbf{V_1}} \color{green}{\text{ et }} \vec{\mathbf{V_2}} \\ \text{ } \\ \vec{\mathbf{V_1}} \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{bmatrix} \; et \; \; \vec{\mathbf{V_2}} \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{bmatrix} \\ \text{ } \\ \color{green}{\text{Le produit vectoriel de }} \vec{V_1} \text{ } \color{green}{\text{et}} \text{ } \vec{V_2} \color{green}{\text{, dans un repère orthonormé, }} \\ \color{green}{\text{est le vecteur, défini par }} \\ $ \[\vec{\mathbf{V}_1} \times \vec{\mathbf{V}_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = \begin{bmatrix} y_1 z_2 - y_2 z_1 \\ x_2 z_1 - x_1 z_2\\ x_1 y_2 - y_1 x_2 \end{bmatrix} \] $\color{brown}{\text{dirigé selon l'axe du vecteur perpendiculaire à chacun des vecteurs }} \\ \color{brown}{\text{ du produit vectoriel, c'est à dire perpendiculaire au plan formé}} \\ \color{brown}{\text{ par ces deux vecteurs.}}$

3. Propriétés du produit vectoriel

Le produit vectoriel n´est pas commutatif,
il est alterné:

$\vec{\mathbf{V}_1} \times \vec{\mathbf{V}_2} = - \vec{\mathbf{V}_2} \times \vec{\mathbf{V}_1}$

Distributivité par rapport à l´addition:

$\vec{\mathbf{V}_1} \times (\vec{\mathbf{V}_2} + \vec{\mathbf{V}_3}) = \vec{\mathbf{V}_1} \times \vec{\mathbf{V}_2} + \vec{\mathbf{V}_1} \times \vec{\mathbf{V}_3}$

Produit par un scalaire:

$k_1*\vec{\mathbf{V}_1} \times k_2*\vec{\mathbf{V}_2} = k_1k_2*\vec{\mathbf{V}_1} \times \vec{\mathbf{V}_2}$

Le produit vectoriel de deux vecteurs
liés (ou colinéaires ou parallèles) est nul.

$\vec{\mathbf{V}_1} \times \vec{\mathbf{V}_2} = 0$ ↔ $\vec{\mathbf{V}_1}$ // $\vec{\mathbf{V}_2}$

4. Interprétation géométrique
du produit vectoriel

$\text{Si deux vecteurs } \vec{\mathbf{V}_1} \text{ et } \vec{\mathbf{V}_2} \text{ ne sont pas nuls et ne sont pas colinéaires;}\\ \text{ leur produit vectoriel est le vecteur w perpendiculaire à leur plan. } \\ \text{Le trièdre ( } \vec{\mathbf{V}_1}, \vec{\mathbf{V}_2}, \vec{\mathbf{V}_2} \text{) formé par ces vecteurs est direct. } \\ \text{ } \\ \text{Le module de w est égal au produit des modules de } \vec{\mathbf{V}_1} \text{ et } \vec{\mathbf{V}_2} \\ \text{ par le sinus de leur angle. } \\ \text{ } \\ \text{Le module de } \vec{\mathbf{W}} \text{ est égal à l´aire du parallélogramme construit sur } \\ \text{ les vecteurs} \vec{\mathbf{V}_1} \text{ et } \vec{\mathbf{V}_2} \\ \text{ } \\ \color{green}{\bf Un\, trièdre } \text{ direct est un triplet ( } \vec{\mathbf{V}_1}, \vec{\mathbf{V}_2}, \vec{\mathbf{V}_2} \text{) de vecteurs de l´espace, } \\ \text{qui sont linéairement indépendants. Son orientation est donné par} \\ \text{la règle du tire-bouchon. On visse dans le sens anti-horaire.} \\ \text{Dans } \vec{\mathbf{W}} = \vec{\mathbf{V}_1} \times \vec{\mathbf{V}_2} \text{ , on tourne de } \vec{\mathbf{V}_1} \text{ vers } \vec{\mathbf{V}_2}$

La définition du produit vetoriel s'ecrit:

$\text{ }\\ \vec{\mathbf{V}_2} \times \vec{\mathbf{V}_2} = |\vec{\mathbf{V}_1}| * |\vec{\mathbf{V}_2 }| \; sin \theta \; \hat u \; \\ \text{ } \\ \theta \text{ est l'angle formé par les deux vecteurs } \vec{\mathbf{V}_1} \text{ et } \vec{\mathbf{V}_2}. \\ \text{ } \\ \text{L'aire du parallélogramme est égale à sa base fois} \\ \text{sa hauteur = h * |} \vec{\mathbf{V}_2} \text{| } \\ \text{ } \\ \text{ h = |}\vec{\mathbf{V}_1}| sin \theta \\ \text{ } \\ \text{Donc, cette aire est égale à:} \\ \text{ } \\ = |\vec{\mathbf{V}_1}| sin \theta * | \vec{\mathbf{V}_2}| = |\vec{\mathbf{V}_1}| |\vec{\mathbf{V}_2}| sin \theta = | \vec{\mathbf{V}_2} \times \vec{\mathbf{V}_2}| \\ \text{ } \\ \color{red}{\text{ L´aire du parallélogramme construit sur les vecteurs} \vec{\mathbf{V}_1} \text{ et } \vec{\mathbf{V}_2} \\ \text{est égal au module de leur produit vectoriel.}}$