Mathématiques 45: Algèbre vectorielle:
Vecteurs colinéaires
Droite d'Euler

Droite d'Euler

1) calculer les coordonnées des points A', B' et C', milieux respectifs des côtés [BC], [AC], et [AB]

• Coordonnées du point A' :

A' milieu de[BC], donc A'((xB + xC)/2, (yB + yC)/2) =
((6 + 18)/2, (6 + 0)/2) = (12,3)
A'(12,3)

• Coordonnées du point B':

B' milieu de [AC], donc B'((xA + xC)/2, (yA + yC)/2) =
((0 + 18)/2, (0 + 0)/2) = (9,0)
B'(9,0)

• Coordonnées du point C':

C' milieu de [AB], donc C'((xA + xB)/2, (yA + yB)/2) =
((0 + 6)/2, (0 + 6)/2) = (3,3)
C'(3,3)

2) Calculer les coordonnées du centre G de gravité G du triangle.

On sait que = (2/3)

On a (xA' - xA, yA' - yA) = (12 - 0, 3 - 0) = (12,3)
= (12,3)

D'où:

(2/3) = (2/3) (12,3) = ((2/3) x 12, 3 x (2/3)) = (8, 2)
= (8, 2)

Soient (xG, yG) les coordonnées que l'on charche du point G.
Nous avons donc

(xG - xA, yG - yA) = (8,2). Donc xG - xA = 8 et yG - yA = 2 .
xG = 8 + xA et yG = yA + 2
xG = 8 + 0 et yG = 0 + 2
G(8,2)

3) Calculer les coordonnées du centre O du cercle circonscrit au triangle ABC, qui est le point de rencontre des trois médiatrices du triangle.

On sait que OA = OB puisqu'ils représentent le rayon d'un même cercle, qui est celui du cercle circonscrit au triangle.

Soient (xO,yO) les coordonnées du point O. La formule de la distance donne:

OA = dist(O,A) = √(xA - xO)² + (yA - yO)²) =
√(0 - 9)² + (0 - yO)²) = √(81 + yO²)

OB = dist(O,B) = √(xB - xO)² + (yB - yO)²) =
√(6 - 9)² + (6 - yO)²) = √(9 + (6 - yO)²)
= √(9 + 36 - 12 yO + yO²) = √(45 - 12 yO + yO²).

Donc:

√(81 + yO²) = √(45 - 12 yO + yO²) --> 81 + yO² = 45 - 12 yO + yO²
81 = 45 - 12 yO --> yO = (45 - 81)/12 = -36/12 = - 3
yO = - 3

Les coordonnées du point O sont donc :

O(9,- 3)

4) Calculer les coordonnées de l'orthocentre H du triangle ABC, qui est le point de rencontre des trois hauteurs du triangle.

On sait que les droites (OA') et (AH) sont parallèles, puisqu'elles sont perpendiculaires à ume même troisième qui est la droite (BA'). Ainsi (OA') // (AH) --> les vecteurs et sont colinéaires. C'est à dire: = k

D'où:

xH - xA = k(xA' - xO)
yH - yA = k(yA' - yO)

xH - 0 = k(12 - 9)
yH - 0 = k(3 - (- 3))

xH = 3 k
yH = 6 k

L'abscisse xH du point H est la même que celle du point B, puisque la droite (BH) est perpendiculaire à l'axe des x, donc parallèle à l'axe des y, xH = xB = 6 . Donc:

6 = 3 k --> k = 2
yH = 6 k --> yH = 6 x 2 = 12

yB = 12

Les coordonnées du point H sont donc :

H(6,12)

5) Montrer que les points O, B et H sont alignés.

On a :

(xG - xO, yG - yO) = (8 - 9,2 - (- 3)) = (- 1, 5)

= (- 1, 5)

(xH - xO, yH - yO) = (6 - 9,12 - (- 3)) = (- 3, 15)

= (- 3, 15)

On trouve (- 3, 15) = 3 x (- 1, 5). D'où:

= 3 x

Les vecteurs et sont donc colinéaires. Il s'ensuit donc que les points O, G, et H sont alignés.

Les points O, G, et H sont alignés.

La droite qui supporte ces trois points est appelée droite d'Euler.


Conclusion:

Dans un triangle scalène l'orthocentre H, le centre de gravité G et le centre du cercle circonscrit O sont alignés sur la droite d'Euler .