Mathématiques: Trigonométrie
Loi des sinus
Théorème d'Al-Kachi
Angles formés par les hauteurs d'un triangle






ABC est un triangle. AD est la hauteur issue du point A au côté opposé BC,
BE est la hauteur issue du point B au côté opposé AC, et
CF est la hauteur issue du point C au côté opposé AB.

Ainsi les angles D, E, et F sont droits.

On note le complémentaire d'un angle X, c'est à dire = 90o - X.

• Dans le triangle ABC, la loi des cosinus s'ecrit:

a2 = b2 + c2 - 2 bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2 ac cos B
c2 = a2 + b2 - 2 ab cos C

D'où:

cos A = (b2 + c2 - a2)/2bc
cos B = (a2 + c2 - b2)/2ac
cos C = (a2 + b2 - c2)/2ab

• Dans le triangle ABC, la loi des sinus s'ecrit:

a/sin = b/ sin = c/sin



1. Angles relatifs à la hauteur AD


• Dans le triangle rectangle BFC :

BF/BC = cos
BF = a cos

• Dans le triangle rectangle BDA :

BD/AB = cos
BD = c cos

• Dans le triangle rectangle ADC:

DC/AC = cos
DC = b cos

• Dans le triangle rectangle BEC:

CE/BC = cos
CE = a cos


• Dans le triangle BDF, la loi des cosinus s'ecrit:

FD2 = BF2 + BD2 - 2 . BF . BD cos

• Dans le triangle DEC, la loi des cosinus s'ecrit:

DE2 = DC2 + EC2 - 2 . DC . EC cos


• Dans le triangle BFD, la loi des sinus s'ecrit:

BF/sin = FD/sin

sin = BF sin / FD

• Dans le triangle EDC, la loi des sinus s'ecrit:

EC/sin = ED/sin

sin = EC sin /ED



2. Expression des sinus des angles , et


• Nous avons:

sin = BF sin / FD
BF = a cos
FD2 = BF2 + BD2 - 2 . BF . BD cos
BD = c cos


Donc

sin =
a cos x sin / √(a2 cos2 + c2 cos2 - 2 . a . c cos3 ) =
a sin / √(a2 + c2 - 2 . a . c cos ) = a sin / b

sin = a sin / b


• Nous avons:

sin = EC sin / ED
CE = a cos
DE2 = DC2 + EC2 - 2 . DC . EC cos
DC = b cos


Donc

sin =
a cos x sin / √(b2 cos2 + a2 cos2 - 2 . a . b cos3 ) =
a sin / √(b2 + a2 - 2 . a . b cos ) = a sin /c

sin = a sin /c


• D'après la loi des sinus dans le triangle ABC:

sin = a sin/ b = asin /c

On trouve:

sin = sin = sin


• Aux pieds des hauteurs D, E et F respectivement, on a :

mes < 90o, mes < 90o, et mes < 90o.
Ces trois angles sont donc aigus.

La fonction sinus étant croissante dans [0, π/2], ainsi l'égalité des sinus implique celle des angles. Nous avons alors:

mes = mes = mes



3. Angles relatifs aux hauteurs BE et CF


Un même raisonnement qu'en 1. conduit à :

mes = mes = mes et à:

mes = mes = mes


On complète le triangle:








  

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