Mathématiques: Trigonométrie
Loi des sinus
Théorème d'Al-Kachi
Exercices divers: Angles et hauteurs dans un triangle

Angles et hauteurs dans un triangle

ABC est un triangle quelconque.

Les angles D, E, et F sont droits.


Application:

AB = c = 10 cm
BC = a = 13 cm
AC = b = 15 cm

a) • Dans le triangle ABC, la loi des cosinus s'ecrit:

a² = b² + c² - 2 bc cos A
b² = a² + c² - 2 ac cos B
c² = a² + b² - 2 ab cos C


cos A = (b² + c² - a²)/2bc
cos B = (a² + c² - b²)/2ac
cos C = (a² + b² - c²)/2ab


cos A = (15² + 10² - 13²)/2 x 10 x 15 = 0.52
mes $\widehat{A}$ = cos^-1 (0.52) = 58.67

mes $\widehat{A}$ = 58.67^o


cos B = (13² + 10² - 15²)/2 x 13 x 10 = 0.169
mes $\widehat{B}$ = cos^-1 ( 0.169) = 80.27

mes $\widehat{B}$ = 80.27^o


cos C = (13² + 15² - 10²)/2 x 13 x 15 = = 0.754
mes $\widehat{C}$ = cos^-1 (0.7538) = 41.07

mes $\widehat{C}$ = 41.07 ^o


b) • Dans le triangle rectangle BFC :

BF/BC = cos $\widehat{B}$

BF = a cos $\widehat{B}$

BF = 13 cos 80.27 = 2.20 m

BF = 2.20 m

• Dans le triangle rectangle BDA :

BD/AB = cos $\widehat{B}$
BD = c cos $\widehat{B}$

BD = 10 cos 80.27 = 1.69

BD = 1.69 m

• Dans le triangle rectangle ADC:

DC/AC = cos $\widehat{C}$
DC = b cos $\widehat{C}$

DC = 15 cos 41.07 = 11.31 m

DC = 11.31 m

• Dans le triangle rectangle BEC:

CE/BC = cos $\widehat{C}$
CE = a cos $\widehat{C}$

CE = 13 cos 41.07 = 9.80

CE = 9.80 m


c) • Dans le triangle BDF, la loi des cosinus s'ecrit:

FD² = BF² + BD² - 2 . BF . BD cos $\widehat{B}$

FD² = 2.20² + 1.69² - 2 x 2.20 x 1.69 cos 80.27 = 6.44

FD = 2.54

FD = 2.54 m

• Dans le triangle DEC, la loi des cosinus s'ecrit:

DE² = DC² + EC² - 2 . DC . EC cos $\widehat{C}$

DE² = 11.31² + 9.80² - 2 x 11.31 x 9.80 cos 41.07 = 56.83

DE = 7.54

DE = 7.54 m


d) • Dans le triangle BFD, la loi des sinus s'ecrit:

BF/sin $\widehat{D1}$ = FD/sin $\widehat{B}$

sin $\widehat{D1}$ = BF sin $\widehat{B}$ / FD

sin $\widehat{D1}$ = 2.20 sin 80.27 / 2.54 = 0.85368

mes $\widehat{D1}$ = sin^-1 (0.85368 ) = 58.61

mes $\widehat{D1}$ = 58.61⁰


• Dans le triangle EDC, la loi des sinus s'ecrit:

EC/sin $\widehat{D2}$ = ED/sin $\widehat{C}$

sin $\widehat{D2}$ = EC sin $\widehat{C}$ / ED

sin $\widehat{D2}$ = 9.80 sin 41.07 / 7.54 = 0.8539

mes $\widehat{D2}$ = sin^-1 ( 0.8539 ) = 58.64

mes $\widehat{D2}$ = 58.64⁰

Au dixième près, mes $\widehat{A}$ = mes $\widehat{D1}$ = mes $\widehat{D2}$ = 58.7⁰

La conjecture pour l'isométrie de ses angles est vraie.


Sur un logiciel de Géométrie, si on change les côtés du triangle, les angles $\widehat{A}$ , $\widehat{D1}$ , et $\widehat{D2}$ changent, mais ils restent toujours isométriques.