Mathématiques: Trigonométrie et Géométrie

Géométre des fonctions trigonométriques

On rappelle que:

• sec(θ) = 1/cos(θ),
• cosec(θ) = 1/sin(θ), et
• cot(θ) = 1/tan(θ)

OM = 1 unité de longeur = OC = OD

OA = BM = cos θ

OA = cos θ

OB = AM = sin θ

OB = sin θ

Les triangles OAM et OCN sont semblables.
D'après le théorème de Thalès OA/OC = AM/CN.

cos θ/1 = sin θ/CN. D'où:

CN = sin θ/cos θ = tan θ.

CN = tan θ

Les triangles OBM et ODP sont semblables.
D'après le théorème de Thalès OB/OD = BM/DP.

sin θ/1 = cos θ/DP. D'où:

DP = cos θ/sin θ = cot θ.

DP = cot θ

La droite (MF) est tangente au cercle en M, elle est donc perpendiculaire au rayon du cercle OM. Ainsi, le triangle OMF est rectangle en M.

Ecrivons la relation métrique suivante:

MA² = AO x AF

AF = OF - OA = OF - cos θ. Donc

sin² θ = cos θ (OF - cos θ) = OF x cos θ - cos² θ

sin² θ + cos² θ = OF x cos θ

1 = cos θ x OF

OF = 1/ cos θ = sec θ

OF = sec θ

Le triangle OMG est rectangle en M.

Ecrivons la relation métrique suivante:

MB² = BO x BG

BG = OG - OG = OG - sin θ. Donc

cos² θ = sin θ (OG - sin θ) = OG x sin θ - sin² θ

cos² θ + sin² θ = OG x sin θ

1 = OG x sin θ

OG = 1/ sin θ = cosec θ

OG = cosec θ