Mathématiques: Trigonométrie
Loi des sinus
Théorème d'Al-Kachi
Position d'un satellite




On se propose de calculer L'altitude d'un satellite artificiel vue par deux observateurs se trouvant à deux ebdroits différents.



1. Première expérience



Les deux observateurs se trouvent aux points A et B.

tan α = AB/BL. D'où:

BL = AB/tan α = 200 km /tan 10 = 1134 km.

BL = 1134 km.

Le satellite est à 1134 km d'altitude.













2. Deuxième expérience



Les deux observateurs se trouvent aux points A et B.

2 π R correspond à 360 o. Donc

l'arc AB correspond à = 600 km correspond à β =
(600 km / 2 π 6370 km ) x 360o = 5.4o

β = 5.4 o

mes = 180 - 20 = 160o

mes = 160o

D'où

mes = 180 - 160 - 5.4 = 14.6o

mes = 14.6o

• Dans le triangle CBL, la loi des sinus s'ecrit:

CL/sin B = CB/sin L

CB = R = 6370 km

CL = sin B x CB/sin L = sin 160 x 6370/sin 14.6 = 8643.13 km

AL = CL - R = 8643.13 - 6370 = 2273.13

Al = 2273 km

Le satellite est à 2273 km d'altitude.



3. Troisième expérience


Les deux observateurs se trouvent aux points B et C.

mes = 180 - α2 = 180 - 60 - 120o

La circonférence 2πR correspond à 360o

L'angle β intercepte l'arc BC = 700 km. Donc

β = l'arc BC/2πR = (700 km/2π x 6370km ) x 360o = 6.30o

β = 6.30o

D'où:

mes = 180 - 120 - 6.30 = 53.70o

mes = 53.70o

mes = 180 - 53.70 = 126.30o

mes = 126.30o

mes = 180 - 126.30 - α1 = 180 - 126.30 - 30 = 23.70o

mes = 23.70o


• Dans le triangle ORC, la loi des sinus s'ecrit:

OR/sin(180- α2) = OC/sin. Soit

OR/sin 120 = 6370/sin 53.70

OR = 6370 x sin 120/sin 53.70 = 6845.00 km

OR = 6845.00 km

D'où: BR = OR - OB = 6845.00 - 6370 = 475 km

BR = 475 km


• Dans le triangle BRL, la loi des sinus s'ecrit:

BL/sin = BR/sin. Soit

BL/sin 126.30 = 475 /sin 23.70

BL = 475 x sin 126.30/sin 23.70 = 952.40 km

BL = 952.40 km


• Dans le triangle OBL, le théorème d'Al-Kachi s'ecrit:

OL2 = OB2 + BL2 - 2 OB . BL . cos . Soit

OL2 = 63702 + (952.40)2 - 2 . 6370 . 952.40 . cos (180 - 30) = 51 991 950.81

OL = 7210.54 km

OL = 7210.54 km

D'où:

AL = OL - OA = 7210.54 - 6370 = 840.54 km.

AL = 840.54 km.

Le satellite se trouve à 840 km au nord.








  

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