Mathématiques statistiques
Tests non paramétriques
Test de rang ρ de Spearman

1. Définitions

Le paramètre ρ de Spearman est utilisé lorsque les données sont présentées sous la forme de rangs, ou de de classements.

Il permets de tester s'il existe une relation entre les caractères de deux séries statistiques à valeurs quantitatives.

2. La méthode

On fait les hypothèses suivantes:

• H0 : pas de relation entre les variables des deux séries.

• H1 : il y a une relation significative entre les variables des deux séries.

Pour une paire de séries de taille N, on calcul le ρ de Spearman selon les étapes suivantes:

1. On trie les scores de la première série X par ordre croissant,

2. On leur attribue un ordre de 1 à N,

3. On trie les scores de la deuxième série Y par ordre croissant,

4. On leur attribue un ordre de 1 à N,

5. On réecrit les scores de la deuxième série originale Y,

6. On leur attribue leurs rangs respectifs,

7. On fait donc correspondre les rang de X, obtenus en 2 à ceux de y obtenus en 6,

8. On calcule pour chaque paire (X,Y) la différence (d_i) entre ces derniers rangs de X et de Y,

9. On élève au carré les d_i,

10. On calcule la somme de ces différentces d_i²,

11. On calcule le coefficient de corrélation ρ de Spearman calculé ou observé ρ_obs selon la formule:

ρ _obs = 1 - [6Σd_i²/N(N² - 1)]

12. pour un dll = N -1, au seuil α On utilise la table rs-de Spearman, ou un logiciel pour avoir le ρ_c critique,

13. Si le ρ_obs < ρ_c, alors on retient Ho; c'est-à-dire il n'y a pas de corrélation significative entre les deux scores.

3. Exemple

Deux séries de N = 8 caractères

X : 210, 205, 200, 195, 198, 202, 205, 196
Y : 196, 204, 203, 200, 196, 199, 197, 206

X : 195, 196, 198, 200, 202, 205, 205, 210
Rangs 1, 2, 3, 4, 5, 6.5, 6.5, 8

Y : 196, 196, 197, 199, 200, 203, 204, 206
Rangs 1 1 3, 4, 5, 6, 7, 8

Y : 196, 204, 203, 200, 196, 199, 197, 206
Rangs 1, 7, 6, 5, 1, 4, 3, 8

X Rangs 1 1 3, 4, 5, 6, 7, 8
Y Rangs 1, 7, 6, 5, 1, 4, 3, 8
d 0, -6, -3, -1, +4, +2 +4 0

Σd_i² = 0 + 36 + 9 + 1 + 16 + 4 + 16 + 0 = 82

ρ _obs = 1 - (6 x 82/8(64 - 1)) =
1 - 0.98 = 0.024 .

Pour α = 0.05 et un N = 8, la table donne
ρ_critique = 0.62.

ρ _obs < ρ_critique. On retient l'hypothèse Ho. Il n'y a donc pas de corrélation significative entre les deux scores.

Table de ρ de Spearman

4. Utilisation du test t-Student

Le ρ de Spearman est lié au t de Student par la relation suite:

t_obs = ρ_obs x √[(N - 2)/(1 - ρ²)]

On peut donc utiliser cette formule pour tester le hypothèses:

t_obs = 0.024 x √[(8-2)/(1 - (0.024)²)] =
0.024 x √[6/(1 - (0.024)²)] = 0.059.

t_obs = 0.059

Pour α = 0.05 (Donc P = 0.95) et un dll = N - 2 = 6, le logiciel t-Student donne t_c = 1.94

t_c = 1.94

t_obs = 0.059 < t_c = 1.94

On retient l'hypothèse Ho. Il n'y a donc pas de corrélation significative entre les deux scores.

Student's t-Distribution Calculator

Entrer les caractères et les effectifs avec des virgules; comme 1,2,3,4,5,6,7

t-Student: t degré de liberté: n probabilité F(t):

Résultat: