Mathématiques statistiques
Fonction de répartition

1. Définitions

Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, ayant des valeurs images comme nombres réels. Chacun de ses nombres réel possède une probabilité correspondant à la réalisation d'un résulat de l'expérience aléatoire associée.

Si on lance un dé cubique deux fois de suite et on s'interesse à la somme des chiffres qui sortent, un des résultats possible est (6,6). La fonction aléatoire correspondante est X : (6,6) → 12. Sa probabilité est égal à 1/36.

On appelle densité de probabilité d'une variable aléatoire X la fonction f_X(x). Cette fonction est réelle, continue, positive ou nulle, et integrable dans R et vérifie ∫^R f_X(x) dx = 1. x est le réel image de la variable aléatoire qui transforme les résulats qui sortent lors d'une expérience aléatoire.

La probabilité P(a < X ≤ b) est la probabilité qu'a la fonction aléatoire X d'avoir des résultats images compris entre deux réels a = X(r1) et b = X(r2). xr1 et r2 sont deux résulats d'une expérience aléatoire.

Cette probabilité est égale à

P(a ≤ X ≤ b) = ∫f(x)dx
x: a → b

La fonction de répartition d'une variable aléatoire X est la fonction qui à tout réel x associe:

F_X(x) = P(- ∞ ≤ X ≤ x) = ∫f_X(t)dt
t: - ∞ → x

C'est l'integrale définie de la densité de probabilité de - ∞ → x. C'est à dire l'aire comprise entre la courbe de f_X(t), l'axe des t; entre - ∞ et le point x.

Cette fonction de répartition est croissante, continue et possède en tout point xo une limite égale à P(xo), avec:

lim F_X = 0
x → - ∞

et

lim F_X = 1
x → + ∞

Ainsi

Une fonction de répartition F d'une variable aléatoire X est définie pour tout nombre réel x, par F(x) = P(X < x).
F(xo) est la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure à xo.

2. Exemple: La loi exponentielle

2.1. Définition

Une loi exponentielle représente la croissance ou la decroissance d'un phénomène comme la prolifération cellulaie ou la decroissance radioactive. C'est souvent une fonction du temps.

Le comportement d'un phénomène qui obéit à la loi exponetielle est sujet à des probabilités.

Temporellement, cette loi, comme la loi géométrique, est une loi sans mémoire. C'est à dire l'évolution du phénomène ne dépends pas de son passé. En termes de probabilité conditionnelle, on a la probabilité suivante:

P(X > t_p + t_f | X ≥ t_p) = P(X > t_f)

X est la variable aléatoire. C'est une fonction qui à un état aléatoire de l'objet donne un caractère statistique. Le temps écoulé jusqu'à l'arrêt du phénomène de l'évolution (ou l'usure) nonnera saa duré de vie.

t_p est le temps passé, et t_f le temps futur.

2.2. Fonction de répartition de la loi exponentielle

La formule de la loi exponentielle est sa densité de probabilité. Elle s'ecrit:

f(t) = λ exp{- λt}

λ est le paramètre de la loi exponentielle.

Intégrée, devient:

∫f(t) dt = - exp{- λt} + cste.

Sans mémoire (f(t) = 0 si t < 0), sa fonction de répartition est :

P(X < x) = ∫f(t) dt = 1 - exp{- λx}
t : 0 → x

2.3. Espérance de la loi exponentielle

L'espérance mathématique en probabilités est égale à la moyenne en statistiques.

Ainsi:

Si x est la valeur de la fonction aléatoire X, sa moyenne μ ou son espérance mathématique E(X) est:

μ = Σ x D(x) où

D(x) est la densité de probabilité = f(x) = λ exp{ - λx}.

μ = E(X) = ∫f(x) x dx
x : 0 → + ∞

= ∫ λ exp{- λx} x dx = λ ∫ x exp{- λx}dt =
λ x (- 1/λ) exp{- λx} - λ ∫ (- 1/λ) exp{ - λx} dt =
- x exp{- λx} + (- 1/λ) exp{- λx} =
x (- 1/λ) exp{ - λx} - ( 1/λ) exp{- λx} = = 1/λ

μ = E(X) = 1/λ