Mathématiques statistiques
Test graphique de Lilliefors

1. Le test de Lilliefors

La procédure du test de de Lilliefors est la suivante:

1. Prélever un échantillon d'une population,

2. Ranger les valeurs x_i par ordre croissant,

3. Déterminer les fréquences cumulées croissantes F_i,

4. Centrer et réduire les valeurs x_i pour avoir les Z_i,

Moyenne: μ = Σx_i n_i /n
Variance: V = (Σn_ix_i²/n) - μ²
Ecart-type: σ = √(V)
Normaliser l'évart-type: σo = (&adic;(n/(n - 1)))σ
Calculer les Z_i = (x_i - μ)/σo

5. Construire la fonction de répartition de l’échantillon sur le papier de Lilliefors: Fréquences cumulées F_i en fonction de Z_i.

6. Prendre une décision suivant la courbe en escalier de la fonction de répartition:

. Si les pas ne coupent pas les frontières : accepter la normalité,
. Si ils coupent les frontières : rejetter la normalité de la population.

Ces frontières sont définies par les courbes de Lilliefors pour différentes valeurs n de la taille de l'échantillon.

2. Exemple

On fait un jus d'orange. Sur 20 oranges utilisées, on a le tableau suivant:

jus (mL)	70	45	65	55	50	40	60
effectifs	2	3	5	3	2	1	4

Question:

La distribution observée des jus d'oranges d'une population d'oranges est-elle compatible avec la loi normale?

Réponse:

La variable aléatoire, c'est la quantité de jus à prélever. La quantité, en mL, de jus obtenu pour chaque orange est la valeur de cette variable aléatoire.

Cette variable aléatoire sera noté X, sa valeur x.

On trie le tableau dans l'ordre croissant selon les mL de jus, on calcule les fréquences, puis les fréquences cumulées. On a le nouveau tableau suivant:

x	40	45	50	55	60	65	70
effectifs	1	3	2	3	4	5	2
fréquences	1/20	3/20	2/20	3/20	4/20	5/20	2/20
fréquences cumulées	1/20	4/20	6/20	9/20	13/20	18/20	20/20

Une fréquence cumulée, par exemple 9/20, représente le pourcentage d'oranges qui prennent une valeur inférieure ou égale à 9.

Nous avons les paramètres suivants:

Effectif total = 20
μ = 57.25
V = 76.19
σ = 8.73
σo = (√(20/19)) x 8.73 = 8.96
Z_i = (x_i - μ)/σo

x	40	45	50	55	60	65	70
Zi	- 1.92	- 1.37	- 0.81	- 0.25	+ 0.32	0.86	1.42
fréquenses cumulées	1/20	4/20	6/20	9/20	13/20	18/20	20/20

La fonction de répartition de l'échantillon de taille n = 20 reste entre les courbes n = 20.
On accèpte la normalité de la poulation .