Mathématiques 45: Algèbre
L'extraction de la partie entière d'une racine carrée
Méthode algébrique

1. La formule

On utilise la formule de la somme des n premiers termes impaires d'une série qui s'ecrit:

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n²

C'est une somme de n nombres impairs.

Par exemple:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6² = 36
qui est une somme de 6 nombres impairs.

Nous allons utiliser la formule de la somme des n premiers termes pour calculer la partie entière de la racine carrée d'un nombre.

• ☛ Pour plus sur les sommes des n premiers termes

2. La méthode

On dispose d'un nombre N dont on veut extraire la racine carrée x. Donc N = x².

Ce nombre N = x² comporte donc x termes impairs.

Nous allons faire x opérations de siustarction comme suit:

N1 = N - 1
N2 = N1 - 3
N3 = N2 - 5

... = ...

N_i = N_i-1 - (2i - 1)

... = ...

Dès que N_i devient négatif ou nul, on arrête. On compte le nombre x d'opérations de soustractions effectuées.

x est donc la racine carrée entière du nombre N.

Le nombre x de termes impairs, dont la somme est égale au nombre N, est la partie entière de la racine carrée de ce nombre N.

3. Exemple

On cherche la partie entière de la racine carrée du nombre 56.

1. 56 - 1 = 55
   
2. 55 - 3 = 52
   
3. 52 - 5 = 47
   
4. 47 - 7 = 40
   
5. 40 - 9 - 31
   
6. 31 - 11 = 20
   
7. 20 - 13 = 7
   7 - 15 = - 8
   - 8 ≤ 0.
   On arrête.

On compte le nombre d'opérations effectuées donnant des résultats positifs: il y en a 7. Donc la partie entière de √56 = 7.