Mathématiques 45: Algèbre
La fonction Racine carrée

1. La racine carrée

  Le carré de + 5 est 25.
Le carré de (- 5) est 25.

Le nombre dont le carré donne 25 est soit (+ 5), soit (- 5)

Par définition (+ 5) est la racine carrée de 25.
Elle est dite aussi la racine carré principale.

La fontion racine carrée est symbolisée par √ . Elle ne prends que du positif et ne donne que du positif.

Ainsi la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas, et une valeur négative d'une racine carrée est fausse.

Maintenant

Le nombre dont le carrée donne 25 est soit (+ √25), soit (- √25)

On ecrit:

$\bf{ (+5)^2 = 25 \Rightarrow 5 = \sqrt{25} \\ \text{et} \\ (+5)^2 = 25 \Leftarrow 5 = \sqrt{25} \\ \text{donc} \\ (+5)^2 = 25 \iff 5 = \sqrt{25} }$

2. La racine cubique

  Le cube de + 5 est + 125.
Le cube de (- 5) est - 125.

Le nombre dont le cube donne 125 est unique, c'est + 5.
Le nombre dont le cube donne - 125 est unique, c'est - 5.

Par définition (+ 5) est la racine cubique de 125. ainsi
(- 5) est la racine cubique de - 125.

La fontion racine cubique ne présente pas d'ambiguité comme la fonction racine carrée. En plus, elle opère même sur les nombres négatifs.

La racine cubique est symbolisée par ∛ . Son domaine est R, et son image est R.

On ecrit:

$\bf{ (+5)^3 = 125 \Rightarrow 5 = \sqrt[3]{125} \\ \text{et} \\ (+5)^3 = 125 \Leftarrow 5 = \sqrt[3]{125} \\ \text{donc} \\ (+5)^3 = 125 \iff 5 = \sqrt[3]{125} }$

3. La racine nième

  Par définition, la racine nième d'un nombre réel a est le nombre réel r dont la puissance nième est égale à a.

$\Large\bf{ \sqrt[n]{a} = r }$    tel que    $\Large\bf{ r^n = a }$

a est le radicand ou radicande , n l'indice ou l'ordre et √ le radical.

Cette ecriture est valable lorsque l'indice n est un entier supérieur ou égal à 2. Dans le cas où n = 2, on note omet le 2 pour ecrire simplement √ .

4. La racine quatrième d'un nombre réel

  Lorsque l'indice n est pair, L'ambiguité de la racine carrée apparaisse. Il faut donc considérer seulement la composante positive. Ainsi:

(+ 5) à la puissance 4 est 625.
(- 5) à la puissance 4 est 625.

Le nombre dont la puissance de 4 donne 625 est soit (+ 5), soit (- 5)

Par définition (+ 5) est la racine quatrième de 625.

La fontion racine quatrième est symbolisée par $\bf{\sqrt[4]{625} = 5}$ . Elle ne prends que du positif et ne donne que du positif.

Ainsi la racine quatrième d'un nombre négatif n'existe pas, et une valeur négative d'une racine quatrième est fausse.

Maintenant

Le nombre dont la puissance de 4 donne 625 est soit (+ √625), soit (- √625)

On ecrit:

$\bf{ (+5)^4 = 625 \Rightarrow 5 = \sqrt[4]{625} \\ \text{et} \\ (+5)^4 = 625 \Leftarrow 5 = \sqrt[4]{625} \\ \text{donc} \\ (+5)^4 = 625 \iff 5 = \sqrt[4]{625} }$

5. La racine nième paire d'un nombre réel

  Ainsi, par définition, la racine nième paire d'un nombre réel positif a est le nombre réel positif r dont la puissance nième est égale à a.

$\Large\bf{ \sqrt[n]{a} = r }$     tel que     $\Large\bf{ r^n = a }$

L'indice n est un entier pair, a est positif et r est positif.

On ecrit:

$\bf{ r^n = a \Rightarrow r = \sqrt[n]{a} \\ \text{et} \\ r^n = a \Leftarrow r = \sqrt[n]{a} \\ \text{donc} \\ \text{} \\ r^n = a \iff r = \sqrt[n]{a} }$

L'indice n est un entier pair, a est positif et r est positif.

6. La racine nième impaire d'un nombre réel

Par définition, la racine nième impaire d'un nombre réel quelconquea est le nombre réel r , de même signe que a dont la puissance nième est égale à a.

$\Large\bf{ \sqrt[n]{a} = r }$ tel que $\Large\bf{ r^n = a }$

L'indice n est un entier impair, a et r sont des réels quelconques.

On ecrit:

$\bf{ r^n = a \Rightarrow r = \sqrt[n]{a} \\ \text{et} \\ r^n = a \Leftarrow r = \sqrt[n]{a} \\ \text{donc} \\ \text{} \\ r^n = a \iff r = \sqrt[n]{a} \\ \text{} \\ \text{n est un entier pair, a est positi et r est positif} \\ }$

Nous avons dans tous les cas:

$\LARGE\bf\color{indigo}{ r^n = a \iff r = \sqrt[n]{a} }$

Sous-entendu que si n est pair, la racine nième n'opère qu'avec les nombres réels positifs.

7. Propriétés de la racine nième d'un réel

Les règles de calcul des racines nièmes découlent directement des propriétés des puissances.

      Pour les radicands strictement positifs, a et b,
(les indices m et n sont pairs ou impairs), et

pour les radicands négatifs a et b
(les indices m et n sont impairs seulement ),
nous avons les propriétés suivantes:

$\Large\bf\color{green}{ \\ \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b} \\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a} } = \sqrt[m \times n]{a} \\ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \\ (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} }$