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Maths
- 45 -

Racine carrée



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Mathématiques 45: Algèbre
La fonction Racine carrée




1. Lois des exposants et des radicaux

Rappelons:

1) n0 = 1, pour n différent de 0
2) na · nb = n(a+b)
3) na/nb = n(a-b)
4) 1/na = n(-a)
5) (n·m)a = na·ma
6) (na)b= n(a·b)
7) √n = n1/2
8) √nm = √n·√m
9) (√n)2 = n


2. Racine carré: foncions de base

La fonction carré transforme x en son carré:

y = f(x) = x2

f : x y = f(x) = x2
Par exemple f(+2) = (+2)2 = 4 . Mais nous avons aussi f(-2) = (-2)2 = 4

La réciproque de la fonction carré est racine carrée:
x y = x2

Mais pour une valeur de y, comme 4, nous avons deux valeurs de x comme + 2 et - 2.

Donc cette réciproque n'est pas une fonction.

Pour que cette réciproque soit une fonction, on omet l'ensemble des valeurs négatives. Ainsi la réciproque devient bien une fonction. Le codomaine de cette fonction réciproque n'est pas R, mais juste R+:

La racine carrée (√) est une fonction dont le domaine est R+ et le codomaine est R+.



On supprime la partie (2) pour que la réciproque devienne une fonction. Ainsi on obtient la fonction racine carrée de base f(x) = √x.


3. Forme canonique

La forme canonique d'une racine carrée est:

f(x) = a√[b(x-h)]+k


Exemples:

f(x) = 2√[3(x - 1)] + 7
f(x) = 8 √[- (x - 2)] + 1
f(x) = - 3√[5(x - 2)] - 4
f(x) = - 3√[5(x - 2)] + 6
f(x) = - 5√[- 4(x - 9)]



4. Propriétés des paramètres a, b, h et k



5. Example

f(x) = - 4√[1(x + 2)] - 6



6. Zéro des fonctions racine carrée

Si le paramètre k = 0, alors , le zéro de la fonction est égal à la valeur du paramètre h.

Pour la fonction f(x) = - 5√[- 4(x - 9)], le zéro est x = + 9.

Si les paramètres a et k sont de mêmes signes, la fonction n'a pas de zéro.

f(x) = 8 √[- (x - 2)] + 1 n'a pas de zéro.

Si les paramètres a et k sont de signes contraires, la fonction admet un zéro, c'est (k/a)2/b - h .

f(x) = - 3√[4(x - 2)] + 6 admet un zéro, c'est 3.



7. Équations avec racine carrée

Pour résoudre une équation contenant une racine carrée, on isole d'abord l'expression racine carrée et ensuite en procède à la résolution.

Exemple:

- 3√[5(x - 2)] + 6 = 3
- 3√[5(x - 2)] = - 3
√[5(x - 2)] = 1
5(x - 2) = 1
x - 2 = 1/5
x = 2 + 1/5
x = 11/5



8. Exercices

Représenter graphiquement les fonctions suivantes et trouver leur zéros s'ils éxistent:

f(x) = 2√[3(x - 1)] + 7
f(x) = 8 √[- (x - 2)] + 1
f(x) = - 3√[5(x - 2)] - 4
f(x) = - 3√[5(x - 2)] + 6
f(x) = - 5√[- 4(x - 9)]






  


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