Mathématiques: Algèbre
Fonction quadratique
Forme générale et forme canonique

1. Les trois formes d'une fonction quadratique

Une fonction quadratique f de la variable x peut s'ecrire sous les trois formes suivantes:

• Forme développée (ou forme générale) : f(x) = ax² + bx + c. Les coefficients a, b, et c sont des réels, avec a ≠ 0).

• Forme canonique : f(x) = a (x - h)² + k. La variable x ne figure qu'une seule fois dans cette expression. Les coefficients h et k sont les coordonnées de l'extremum de la fonction f.

• Forme factorisée : f(x) = a (x - x1)(x - x2). C'est un produit de facteurs du premier degré. x1 et x2 sont les zéros de la fonction f.

Pour toute fonction quadratique f(x) est associé un trinôme T(x) = ax² + bx + c et une équation du second degré à une inconnue ax² + bx + c = 0.

Les zéros de la fonction f sont ses abscisses à l'origine, ce sont les racines du trinôme T(x).

Que ce soit sous forme générale, canonique, ou factorisée, la fonction quadratique f(x) dépends toujours de trois coefficients:

a, b, et c pour la forme générale,
a, h, et k pour la forme canonique, ou
a, x1 et x2 pour la forme factorisée.

Pour la forme canonique, si on connait les coordonnées du sommet h et k, il restera à déterminer le coefficient a.

Pour la forme factorisée, si on connait les zéros x1 et x2 de la fontion f, il restera à déterminer le coefficient a.

2. Somme et produit des racines d'un trinôme

Les racines d'un trinôme T(x) = ax² + bx + c sont les solutions de l'équation, du second degré, associée:

ax² + bx + c = 0

Le discriminant de cette équation est égal à Δ = b² - 4ac.

- Si Δ > 0, l'équation admet deux solutions distinctes:

x1 = (- b + √Δ)/2a et x2 = (- b - √Δ)/2a

- Si Δ = 0, l'équation admet une solution double :

x1 = x2 = - b/2a

- Si Δ < 0, l'équation n'admet aucune solution.

On se place dans le cas où l'équation admet deux solutions.

Si l'équation ax² + bx + c = 0 admet deux solutions, alors ses racines s'ecrivent:

x1 = (- b + √Δ)/2a et x2 = (- b - √Δ)/2a

Leur somme donne:

S = x1 + x2 = (- b + √Δ)/2a + (- b + √Δ)/2a =
(- b + √Δ - b + √Δ)/2a = (- b - b )/2a =
- 2 b/2a = - b/a

S = - b/a

Leur produit donne:

P = x1 . x2 = (- b + √Δ)/2a x (- b - √Δ)/2a =
[(- b)² + b √Δ - b √Δ - Δ ]/ (2a x 2a) =
[(- b)² - Δ ]/ (2a x 2a) =
[(- b)² - (b²- 4ac) ]/ (2a x 2a) =
[(- b)² - b² + 4ac ]/ (2a x 2a) =
[ 4ac) ]/ (2a x 2a) = c/a

P = c/a

On retient:

Si x1 et x2 sont les solutions de l'équation
ax² + bx + c = 0, alors
La somme des racines est S = x1 + x2 = - b/a
Le produit des racines est P = x1 . x2 = c/a

Remplaçons b = - a S et c = a P dans l'équation ax² + bx + c = 0, on obtient:

ax² + (- a S) x + a P = 0
a(x² - S x + P) = 0
x² - S x + P = 0

On retient:

Si l'équation ax² + bx + c = 0 admet deux solutons x1 et x2, alors elle peut s'ecrire sous la forme:

x² - Sx + P = 0

où S = x1 + x2 = - b/a , et P = x1 . x2 = c/a

ax² + bx + c = a(x² + (b/a)x + c/a) = a(x² - (- b/a)x + c/a) = a(x² - S x + P)

3. Applications

3.1. On connait les deux solutions x1 et x2 de l'équation du second degré, et on veut ecrire la fonction associée sous forme générale:

• Soit on utilise la forme factorisée a(x - x1)(x - x2), et ensuite on développe,

• Soit on utilise directement la méthode de la somme et de la différence: a (x² - S x + P).

Exemple:

On connait les deux racines de l'équation:

x = - 1 et x = 3 . Donc

S = - 1 + 3 = 2
P = (- 1) x (3) = - 3

Ainsi la fonction quadratique associée s'ecrit:

f(x) = a(x² - S x + P) = a(x² - 2 x - 3)

Il restera le coefficient a à déterminer selon les données du prblème.

3.2. Vérifier que ax² + bx + c se ramène à a(x² - S x + P)

Soit l'équation suivante associée à la fonction quadratique f(x) = 5 x² + 14 x + 2 :

5 x² + 14 x + 2 = 0

Δ = (14)² - 4(5)(2) = 196 - 40 = 156 ≥ 0

L'équation admet donc deux racines x1 et x2. On a donc

x1 + x2 = - b/a = - 14/5 et
x1 . x2 = c/a = 2/5

La forme générale de la fonction quadratique peut donc s'ecrire:

f(x) = a(x² - S x + P) = 5(x² - (-14/5) x + (2/5)) = 5x² + 14 x + 2

On retrouve bienl'équation de départ.

3.3. Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit

C'est ici que la méthode somme-produit s'avère utile.

Si on connait la somme S et le produit P de deux nombres x1 et x2, alors pour connaitre ses nombres, il faut passer par l'équation du second degré x² - Sx + P = 0.

Exemples:

Exemple 1:

x1 + x2 = 22
x1 . x2 = 120

Ici c'est facile à deviner x1 = 12 et x2 = 10.

Exemple 2:

x1 + x2 = 2
x1 . x2 = 1/4

Ici ce n'est facile à deviner. Il faut passer par l'équation

x2 - 2x + 1/4 = 0.

Δ = (- 2)² - 4 (1)(1/4) = 4 - 1 = 3

Les solutions sont donc:

x1 = (2 + √3)/2 et x2 = (2 - √3)/2

Exemple 3:

Résoudre le système

x + y = 49
x² + y² = 1225

On trouve x = 21 et y = 28 ou x = 28 et y = 21.

4. Autres applications : connaissant une racine,
comment détermine-t-on la deuxième ?

On considère la forme générale d'une foncion quadratique:

y = a x² + b x + c

qui possède deux zéros r1 et r2, et dont on connait l'un d'entre-eux, soit r1.

On veut déterminer alors le second zéro r2.

On sait que:

r2 + r1 = - b/a
r1 r2 = c/a

r1 est connu. L'une des deux relations donne r2. Avec la deuxième, qui est la plus simple, on a :

r2 = c/ar1

Exemple:

y = 3 x² - 7 x + 2

On donne le premier zéro: r1 = 2.

a = 3 et c = 2. donc c/a = 2/3

D'où r2 = 2/3x2 = 1/3

Le deuxième zéro est donc r2 = 1/3

5. Retrouver les deux formules de la somme et
du produit des racines en utilisant les polynômes

On considère la forme générale d'une foncion quadratique:

y = a x² + b x + c

On ecrit cette fonction sous sa forme factorisée:

y = a(x - r1)(x - r2). Puis, on développe:

y = a (x² - r2 x - r1 x + r1 r2) = a (x² - (r2 + r1) x + r1 r2) =
a x² - a (r2 + r1) x + a r1 r2

On trouve donc:

y = a x² - a (r2 + r1) x + a r1 r2       (2)

Maintenant on égalise les deux formes ( 1) et (2). Il vient:

a x² + b x + c = a x² - a (r2 + r1) x + a r1 r2

On applique la règle suivante :

Deux polynômes réduits sont égaux si et seulement si les termes de même degré ont des coefficients égaux.

Donc:

a = a
b = - a (r2 + r1)
c = a r1 r2

ou

r2 + r1 = - b/a
r1 r2 = c/a

On retrouve donc les formules simples de la somme et du produit des zéros d'une fonction quadratique.