Mathématiques: Fonction quadratique
Carré inscrit dans un autre carré

1. Cas particulier

Dans un carré de 100 cm², on veut inscrire un deuxième carré de 64 cm².

Quelles sont alors les positions des sommets de ce petit triangle ?

Réponse

On calcule donc x et y.

D'après la propriété de Pythagore, nous avons

x² + y² = 8² = 64     (1)

De plus, d'après la symétrie du problème

x + y = 10     (2)

(2) donne y = 10 - x .

On substitue cette dernière relation dans (1) et on trouve:

x² + (10 - x)² = 64

On développe et on réduit:

2x² + 100 - 20x = 64
2x² - 20x + 36 = 0
x² - 10x + 18 = 0

Discriminant réduit Δ' = 25 - (1)(18) = 7

La solution est donc :

x = 5 - √7       et       y = 5 + √7

2. Cas général

Dans le cas général où le côté du grand carré est a et le côté du carré inscrit est b, on aura:

x + y = a     (G1)

x² + y² = b²     (G2)

On substituant (G1) dans (G2), on obtient :

x² + (a - x)² = b²

On développe, et on obtient l'équation associée à une fonction quadratique, c'est à dire une équation du deuxième degré à une inconnue associée au trinôme x² + (a - x)² - b².

2 x² - 2 a x + a² = b²

2 x² - 2 a x + a² - b² = 0

Δ' = (- a)² - (2) (a² - b²) = a² - 2a² + 2 b² = 2 b² - a²

Les solutions sont:

x = (a ± √(2 b² - a²))/2


Les dimensions géométriques sont positives,
nous avons donc a ≥ 0 et b ≥ 0.

• Pour avoir une solution positive, on doit avoir :

a ≥ √(2 b² - a²)
a² ≥ 2 b² - a²
a² ≥ b²

a ≥ b

Les dimensions géométriques sont réelles.

• Pour avoir une solution réelle, on doit avoir un discriminat positif, donc:

2 b² - a² ≥ 0
b² ≥ a²/2

b ≥ a/√2

On peut représenter a/√2, b et a sur une droite graduée:

      0 ------ a/√2 -------- b ---------- a

On note bien que x ne peut prendre que les valeurs de 0 à a et que y ne peut prendre que les valeurs de a à 0, ou inversement.

Exemple:

Si a = 10 cm, alors a/√2 = 7.07 cm . Les seules valeurs que peut prendre b sont comprises entre 7.07 et 10.