Mathématiques 2: Probabilités
Probabilités conditionnelles

1. Introduction

On lance deux dés cubiques.

Quelle est la probabilité d'avoir une somme égale à 6 si les deux dés indiquent des résultats différents?

Dans cette expérience aléatoire, l'ensemble fondamental S contient 36 résultats possibles.

Soient les deux évenements suivants:

L'événement A: "somme est égale à 6"
A = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}
Donc P(A) = 5/36.

L'événement B: "deux résultats différents"
B contient 30 couples; les 36 couples de S sauf les 6 couples (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), et (6,6).
Donc P(B) = 30/36 = 5/6

la probabilité d'avoir une somme égale à 6 si les deux dés indiquent des résultats différents est égale à la probabilité d'avoir à la fois une somme égale à 6 et deux résultats différents parmi tous les résultats différents de l'ensemble B.
c'est à dire P(A∩B)/P(B) = 4/30 = (4/36)/(30/36) qui vaut 2/15.

L'événement B s'est déjà réalisé avant l'événement A. Il constitue donc le nouveau ensemble fondamental des résultats possibles. L'événement de condition correspond à l'ensemble de référence.

2. Définition

Si A est un événement associé à une expérience aléatoire et B est un événement de probabilité non nulle associé à la même expérience aléatoire, alors la probabilité de réalisation de A sachant que B s'est déjà réalisé s'appelle la probabilité conditionnelle de A sachant B et se note P(A|B) et est égale à P(A|B) = P(A∩B)/P(B).

P(A|B) = P(A∩B)/P(B)

Avec P(B) ≠ 0.

3. Exemples

1. Exemple 1

Dans une salle de concert, 20 musiciens jouent du violon, de la flûte traversière et de la violoncelle.

Parmi les hommes, il y a :

3 qui jouent du violon,
4 qui jouent de la flûte traversière et
2 qui jouent de la violoncelle.

Parmi les femmes, il y a

6 qui jouent du violon,
3 qui jouent de la flûte traversière , et
2 qui jouent de la violoncelle.


On choisit une personne au hasard, et on veut savoir la probabilité:

a) qu'elle joue du violon
b) qu'elle joue du violon sachant que c'est une femme.
c) qu'elle joue du violon ou la flûte traversière sachant que c'est un homme.
d) que ce soit une femme, si on sait qu'elle joue de la flûte traversière.

On note ces événements ainsi:

A: "la personne joue du violon"
B: "la personne joue la flûte traversière"
C: "la personne joue de la violoncelle"
F: "la personne est une femme"
H: "la personne est un homme"

a) La probabilité que la personne choisie joue du violon
est P(A) = (3 + 6)/20 = 9/20

b) La probabilité qu'elle joue du violon sachant que c'est une fille est P(A|F) = P(A∩F)/P(F) =
(6/20)/(11/20) = 6/11

c) La probabilité qu'elle joue du violon ou la flûte traversière sachant que c'est un homme est égale à
La probabilité qu'elle joue du violon sachant que c'est un homme ou de la flûte traversière que c'est un homme

et est égale à P(A|H) + P(B|H) .
Les événements A et B sont incompatibles.
= (3/20)/(9/20) + (4/20)/(9/20) = 7/9

d) La probabilité qu'elle soit une femme, si on sait qu'elle joue de la violoncelle est
P(F|C) = P(F∩C)/P(C)
(2/20)/(4/20) = 2/4.

2. Exemple 2

On distribue des cadeaux sous forme d'un paquet de trois livres de Mathématiques et de Physique. Dans un paquet il y a au moins un livre de Physique.

Je reçois un cadeau. Quelle est la probabilité d'avoir deux livres de Mathématiques?

On dénote par

"M" 1 livre de Mathématiques, et par
"P" 1 livre de Physique

Soient les événements:

Événement A: recevoir un cadeau:
A ={(M, M, M); ( M, M, P ); (M, P, M ); (M, P, P); (P, M , M ); (P, M , P); (P, P, M); (P, P, P); }
card(A) = 8

Événement B: avoir au moins un de Physique:
De A il faut exclure (M, M, M) pour obtenir
B = {(M, M, P ); (M, P, M ); (M, P, P); (P, M , M ); (P, M , P); (P, P, M); (P, P, P); }
card(B) = 7

Événement C: avoir deux livres de Mathématiques:
a) Sans tenir compte de l'événement B:
De A il faut exclure (M, P, P); (P, M , P); (P, P, M); (P, P, P) pour obtenir
C1 = {(M, M, M); (M, M, P ); (M, P, M ); (P, M , M )}
card(C1) = 4

b) En tenant compte de l'événement B:
De C1 il faut exclure ( M, M, M) pour obtenir
C2 = {(M, M, P ); (M, P, M ); (P, M , M )}
card(C2) = 3

Ce qui revient à exclure de B les éléments (M, P, P); (P, M , P); (P, P, M); (P, P, P); pour obtenir
C2 = {(M, M, P ); (M, P, M ); (P, M , M )}
card(C2) = 3

La probabilité de trouver dans le cadeau deux livres de Mathématiques sachant qu' il y a au moins un livre de Physique est donnée par l'événement C en tenant compte de l'événement B. C'est à dire card(C2)/card(B) = 3/7.

Ici l'ensemble B devient le nouveau ensemble de référence. Ainsi la probabilité de l'événement C sachant B se calcule dans B: Avoir deux livres de Mathématiques avec un de Physique.

Ce qui correspond à l'intersection de B avec C B∩C dans le référentiel B. Il faut remarquer que C2 = C∩B.

La probabilié cherchée est donc égale à card(C∩B)/card(B).

Divisons par car(A) le mumérateur et le dénominateur de la fraction, pour se ramener au référentiel de départ, on obtient:

card(C∩B)/card(B) =
[card(C∩B)/card(A)]/[card(B)/card(A)] =

P(C∩B)/P(B) = (3/8) /(7/8) = 3/7

Cette probabilité P(C∩B)/P(B) est notée P(C|B) et est appelée probabilité conditionnelle de C sachant B .

4. Exercice

Dans une classe formée de 54% de filles, tous les élèves pratiquent un sport parmi le yoga ou l'escrime. On sait que 32% des filles pratiquent le yoga, alors que 59% des garçons pratiquent l'escrime.

On choisit une personne au hasard dans cette classe:

Quelle est la probabilité q'elle paratique le yoga?
Quelle est la probabilité q'elle paratique l'escrime?

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