Mathématiques 2: Analyse combinatoire
Sans ordre et sans répétition
Tirage sans ordre et sans répétition
1. Exemple
Combien de paires de chiffres peut-on
former avec les chiffres 1, 3 et 5 ?
Nous avons en tout 3 chiffres et on veut
fabriquer une pire avec 2 chiffres.
Ici l'ordre n'est pas important puisque, par exemple,
la paire {1,3} est la même que la paire {3,1}.
Ici aussi, Le tirage est sans répétition et donc
les paires {1,1}{2,2}{3,3} ne sont pas recherchés.
La question posée est reformulée ainsi:
Combien de résultas différents obtient-on
en tirant au sort deux billes d’une boite
qui en contient trois, une verte, une rouge
et une blue, sans ordre et sans remise.
Ce problème est le même que le problème
précédent; c'est à dire un tirage avec ordre
et sans remise, c'est à dire 6. Mais l'ordre imposait
p! = 2! façons différentes d'ecrire un résultat à
deux chiffres.
Ainsi la réponse à la question posée c'est le
nombre d'arragements A(n,p) = 6 divisé par le nombre de
façons différentes d'écrire un résultat en tenant
compte de l'ordre, qui est p! = 2!
L'expérience aléatoire sans remise et sans ordre
de p objets parmis n est une combimaison
de n objets . Ce nombre est noté C(p,n) =
n!/(n - p)!p!
Dans l'exemple ci-dessus, p = 2 et n = 3 . Ainsi
les résultas sont en nombre de 3!/(3 - 2)!2! = 3.
Expérience aléatoire sans ordre et sans répétition :
Combinaison de n objets en p objets:
C(p,n) = A(p,n)/p! = = n!/(n - p)!p!
3. Cas particulier
Lorsqu' on a n objets à permuter en n objets, c'est à dire
le nombre de tirage est égal au nombre d'objets dans
l'ensemble de référence (n = p), dans ce cas, la formule ci-dessus
devient:
C(p,n) = n!/(n - p)! = n!/(n - n)! = n!
Expérience aléatoire sans ordre et sans répétition :
Permutation sans ordre de n objets :
