Mathématiques 45: Arithmétique
Recherche de deux nombres entiers connaissant
leur pgcd et leur ppcm.

1. Formule à utiliser

Comment trouver deux nombres entiers naturels connaissant leur pgcd et leur ppcm?

Soient deux nonbres entiers naturels a et b.

Puisque le pgcd est un diviseur de a et b, on peut ecrire:

a = (pgcd) x m      (1)
b = (pgcd) x n      (2)
m et n sont premiers entre eux.     (3)

On sait, d'autre part que:

pgcd(a, b) x ppcm(a, b) = a x b     (4)

Multiplions (1) avec (2), on obtient:
(pgcd)² x m x n = a x b

Avec l'équation (4), on obtient:
pgcd(a, b) x ppcm(a, b) = (pgcd)² x m x n ou ppcm(a, b) = (pgcd) x m x n

Ainsi
$$\color{brown}{\Large\bf \frac{ppcm(a, b)}{pgcd(a, b)} = m \times n}\\ \text{}\\ \text{}\\ \color{blue}{\large\bf m = \frac{a}{pgcd(a, b)} \; \; et \; \; } \color{blue}{\large\bf n = \frac{b}{pgcd(a, b)}}\\ $$
le rapport du ppcm au pgcd de deux nombres entiers est égal au produit des nombres premiers quotients de ces nombres par leur pgcd.


Maintenant divisons a par b en utilisant les relations (1) et (2), on obtient:

a/b = m /n
ou

a x n = b x m

Le problème revient donc à trouver deux nombres a et b tels que:

a x n = b x m
m = a/pgcd et n = b/pgcd
avec m et n premiers entre eux .

2. Exemple:

On cherche deux nombres entiers a et b connaissant leur pgcd = 4 et leur ppcm = 280.

Nous avons:

ppcm/pgcd = 280/4 = 70 = m x n

On cherche donc deux nombres a et b tels que:

a = 4 x m et
b = 4 x n
en utilsant m x n = 70 ,
avec m et n premiers entre eux.

1) On prend m = 1 donc n = 70 : n'est pas la solution
parce que 1 et 70 ne sont pas premiers entre eux.

2) m = 2, donc n = 35: est une solution
parce que 2 et 35 sont premiers entre eux.

Donc a = 4 x 2 = 8 et b = 4 x 35 = 140
a = 8 et b = 140

3) m = 3, donc n = 70/3 : n'est pas la solution
parce que 70/3 n'est pas entier.

4) m = 4, donc n = 70/4: n'est pas la solution
parce que 70/4 n'est pas entier.

5) m = 5, donc n = 14: est une solution
parce que 5 et 14 sont premiers entre eux.

Donc a = 4 x 5 = 20 et b = 4 x 14 = 56
a = 20 et b = 56

6) m = 6, donc n = 70/6: n'est pas la solution
parce que 70/6 n'est pas entier.

7) m = 7, donc n = 10: est une solution
parce que 7 et 10 sont premiers entre eux.

Donc a = 4 x 7 = 28 et b = 4 x 10 = 40
a = 28 et b = 40

.....

10) m = 10, donc n = 7: est une solution
parce que 10 et 7 sont premiers entre eux.
Donc a = 4 x 10 = 40 et b = 4 x 7 = 28,
solution déjà trouvé au 7).

On s'arrête en fait au nombre m = 9. 9 est la racine carée immédiatement suppérieure ou égale à √(m x n) = √70 = 8.37 donc m = 9. Dans ce cas , on a tous les cas possibles.




La droite d'équation n = m est l'axe de symétrie de la courbe d'équation n = 70/m.

3. Execice 1:

Trouver deux nombres entiers a et b connaissant leur pgcd = 18, et leur ppcm = 3780.

Compléter la séquence de calcul suivant:

ppcm/pgcd = 3780/18 = 210 = m x n

On cherche donc deux nombres a et b tels que:

a = 18 x m et
b = 18 x n
en utilsant m x n = 210 , avec m et n premiers entre eux.

1) On prend m = 1 donc n = 210 : n'est pas la solution
parce que 1 et 210 ne sont pas premiers entre eux.

2) m = 2, donc n = 105: est une solution
parce que 2 et 105 sont premiers entre eux

Donc a = 18 x 2 = 36 et b = 18 x 105 = 1890
a = 36 et b = 18

3) m = 3, donc n = 70 : est une solution
parce que 3 et 70 sont premiers entre eux

Donc a = 18 x 3 = 54 et b = 18 x 70 = 1260
a = 54 et b = 1260

...

On s'arrête au nombre m immédiatement suppérieur ou égal à √210 = 14.49, c'est à dire m = 15.

3. Execice 2:

Soient trois entiers naturels a, b, et z.

Démontrer que :

si pgcd(a, b) = 1, alors
pgcd(z, a x b) = pgcd(z, a) x pgcd(z, b)

Réponse:

On considère trois entiers naturels z, a et b
avec a et b premiers entre eux.

Soit g_az le pgcd(a, z) et g_bz le pgcd(b, z).

on peut donc ecrire:

a = g_az x A et
b = g_bz x B

A et B sont premiers entre eux puisque a et b le sont.

Le produit ab donne:

ab = g_az x g_bz x A x B

A et B sont premiers entre eux donc

g_ax x g_bx est égal au pgcd (x, ab).

Or g_az x g_bz = pgcd(a, z) x pgcd(b, z)

Donc

pgcd(z, ab) = g_az g_bz = pgcd(a, z) x pgcd(b, z)

Ainsi
$$\color{brown}{\LARGE\bf \text{pgcd(z, a x b) = pgcd(z, a) x pgcd(z, b)}}\\ $$