Mathématiques 45: Arithmétique
La preuve par 9

1. Définition

La preuve par neuf est une technique qui permet de vérifier un calcul de multiplication.

Cette technique peut juste montrer qu'un résultat est faux, mais elle ne permet pas de conclure que le résultat est correct.

2. Le principe

La preuve par 9 s'appuie sur le modulo 9.
x = y mod(9) si 9 est le reste de la division de x par y.
Par exemple 16 = 7 mod(9).
Les 9 sont remplacés par des 0.


• On fait la multiplication des deux entiers a et b.
• On additionne les chiffres du nombre résultat trouvé, on le note c,
• On additionne les chiffres du nombre a, on le note a1,
• On additionne les chiffres du nombre b, on le note b1,
• On fait la multiplication des deux entiers a1 et b1,
• On additionne les chiffres du nombre résultat trouvé, on le note d,

Si c ≠ d, il ya une erreur, sinon il n'y a pas d'erreur.

3. Exemple

• On fait la multiplication des deux entiers 71 et 11,
• On additionne les chiffres du nombre résultat 781 trouvé, 7 + 8 + 1 = 16 = 7 on le note c = 7,
• On additionne les chiffres du nombre a = 71, on le note a1 = 8,
• On additionne les chiffres du nombre b = 11, on le note b1 = 2,
• On fait la multiplication des deux entiers a1 et b1 8 x 2 = 16,
• On additionne les chiffres du nombre résultat trouvé 1 + 6 = 7, on le note d = 7,

c = d = 7. Il n'y a donc pas d'erreur dans le calcul de la multiplication de 71 x 11 = 781.