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Exercices de
perfectionnement



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Mathématiques 45: Arithmétique
Ppcm de deux entiers naturels
Exercices de perfectionnement




1. PPCM: Exercice résolu

On dispose de différentes façons pour trouver le ppcm de deux entiers naturels a et b.

On prendra l'exemple des deux entiers naturels:

a = 84 et
b = 90


• Méthode Des multiples

On ecrit tous les multiples du nombre a et du nombre b, ensuite on note le plus petit commun multiple des deux nombres.

On trouve les multiples d'un nombre en le multipliant par tous les entiers à partir de 1: 1, 2, 3, 4, .... On cherche les multiples de 84 et de 90 en même temps. Dès qu'on trouve um multiple commun, on arrête les opérations. Ce dernier multiple commun est le plus petit, donc c'est le ppcm cherché.

84: 84, 168, 252, 336, 420, 504, 588, 672, 756, 840, 924, 1008, 1092, 1176, 1260, 90: 180, 270, 360, 450, 540, 560, 720, 810, 900,990, 1170, 1260,

Ainsi, le ppcm de 84 et 90 est ppcm(84, 90) = 1260.

Cette méthode est trop longue!


• Méthode Des facteurs premiers

On décompose chaque nombre en un produit de facteurs premiers.

Le ppcm est alors le produit des facteurs premiers COMMUNS OU NON affectés du plus GRAND EXPOSANT .

84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 22 x 3 x 7
90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 x 32 x 5

Les facteurs premiers communs ou non à 84 et à 90 sont
2, 3, 5, et 7.

Chacun avec son plus grand exposant, leppcm est donc ppcm(84, 90) = 22 x 32 x 5 x 7 = 4 x 9 x 5 x 7 = 1260

Cette méthode est longue!. Mais, on dispose juste de la méthode des multiples et celle des facteurs premier comme méthode directes.


• Méthode PGCD - PPCM

Il s'agit ici d'utilser la formule:

pgcd(a, b) x ppcm(a, b) = a x b

Donc:

ppcm(a, b) = (a x b)/pgcd(a, b)

Si donc les deux méthodes directes sont longues, alors on peut utiliser la méthode la plus rapide pour calculer le pgcd, et ensuite diviser le produit des deux nombres par ce pgcd pour trouver le ppcm.


84 = 22 x 3 x 7
90 = 2 x 32 x 5

pgcd(84, 90) = 2 x 3 = 6

ppcm(a, b) = (84 x 90)/6 = 1260

Cette méthode semble la plus rapide !



2. Exercices

Exercice 1

Calculer le ppcm de 60 et 42 par les trois méthodes.


Exercice 2

Calcluer par une méthode de votre choix le ppcm des couples d'entiers naturels suivants:

1 et 1
0 et 3
18 et 42
30 et 50
45 et 66
25 et 100
105 et 180
30 et 180



Exercice 3

Sans donner les résulats correspondants, ecrire les décompositions des PPCMs des expressions suivantes:

Ememple:

a = 23 x 3 x 52 x 74
b = 27 x 32 x 78 x 11

ppcm(a,b) = produit des facteurs COMMUNS OU NON affectés de leur GRAND EXPOSANTS.

ppcm(a,b) = 27 x 32 x 52 x 78 x 11

1)
a = 25x 3 x 53 x 72
b = 27x 3 x 77 x 11

2)
a = 2 x 33 x 53 x 74
b = 27 x 32 x 58 x 11

3)
a = 23 x 52 x 72 x 13
b = 27 x 32 x 78 x 135

4)
a = 23 x 33 x 52 x 72
b = 78 x 113 x 17

5)
a = 23 x 33 x 72
b = 25 x 32 x 7 x 119

6)
a = 23 x 76 x 233
b = 217 x 34 x 78 x 113

7)
a = 233 x 33 x 522 x 74
b = 27 x 312 x 72 x 118


Exercice 4

le pgcd est utilisé pour simplifier les fractions.

La façon la plus rapide de réduire une fraction est de diviser le numérateur et le dénominateur par leur pgcd. on obtient directement la fraction irréductible.


Rndre irréductible les fractions suivantes en utilisant le pgcd:

16/20
15/50
75/100
24/120


Exercice 5

Réponder par vrai ou faux relativement aux propositions suivantes:

a) Si deux nombres entiers n'ont aucun diviseur commun autre que 1, alors leur pgcd est égal à 1.

b) Si deux nombres entiers n'ont aucun diviseur commun autre que 1, ces nombres sont dits premiers entre eux.

c) Si deux nombres entiers n'ont aucun diviseur commun autre que 1, alors ces nombres sont premiers.

d) Si deux nombres entiers sont premiers entre eux, alors leur ppcm est égal à leur produit.

e) Quand on divise deux nombres entiers par leur pgcd, on obtient deux nombres premiers entre eux.

f) Quand on divise le numérateur et le dénominateur d'une fraction par leur pgcd, on obtient une nouvelle fraction avec un numérateur et un dénominateur premiers entre eux.



Exercice 6

Dans une classe, le poids moyen des élèves est 50 Kg. Le poids moyen des filles est 48.25 Kg. Le poids moyen des garçons est 52.25 Kg.

Combien y a-t-il d’élèves dans la classe ?

Pg est le poids total de tous les garçons.
Pf est le poids total de toutes les filles.

Ng est le nombre total de tous les garçons.
Nf est le nombre total de toutes les filles.

Nous avons donc:

Pf/Nf = 48.25     (1)
Pg/Ng = 52.25     (2)

Pour tous les élèves:

(Pg + Pf)/(Ng + Nf) = 50     (3)

Cette relation (3) donne:

Pg + Pf = 50 (Ng + Nf) = 50 Ng + 50 Nf

Les relations (1) et (2) donnent:

Pg + Pf = 48.25 Nf + 52.25 Ng . D'où:

50 Ng + 50 Nf = 48.25 Nf + 52.25 Ng

2.25 Ng = 1.75 Nf. Ou
225 Ng = 175 Nf, qui se réduit à

9 Ng = 7 Nf

On cherche Nf et Ng qui satisferont l'égalité
9 Ng = 7 Nf :

On multiplie progressivement:

x 1 → 9, 7
x 2 → 18, 14
x 3 → 27, 21
x 4 → 36, 28
x 5 → 45, 35
x 6 → 54, 42
x 7 → 63, 49
x 8 → 72, 56
x 9 → 81, 63

PPCM(9,7) = 63

63/9 = 7
63/7 = 9

7 + 9 = 16 élèves

Le nombre d'élèves est 16.



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