Mathématiques 45: Arithmétique
Le Plus Petit Commun Multiple (PPCM)

1. Définition

Le plus petit commun multiple (PPCM) de deux nombres entiers naturels non nuls est leur multiple commun, mais le plus petit.

Le PPCM de deux entiers naturels non nuls a et b se note ppcm(a, b)

On peut déterminer un ppcm de trois façons différentes :

• Écrire les multiples des deux nombres,
• Décomposer les deux nombres en produits de facteurs premiers, ou
• Utiliser la formule:
pgcd(a, b) x ppcm(a, b) = a x b

Nous allons utilser les deux nombres suivants:

N1 = 12 et N2 = 10

2. Méthodes pour détérminer un ppcm

2.1. Méthode 1

Ecrivons les multiples des deux nombres:

Les multiples de 12 sont :
N1 = 12: 2, 24, 36, 48, 60, 84, 96, 108, 120, 132 ... →

Les multiples de 10 sont :
N2 = 10: 10, 20, 30, 40, 50 , 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 132... →

Les multiples communs sont:
60, 120, ... →

Le plus petit commun multiple est 60 .

On remarque que
les multiples communs sont les multiples du ppcm.

2.2. Méthode 2

On décompositions les deux nombres en produits de facteurs premiers.

N1 = 12 = 2 x 2 x 3 = 2² x 3.

N2 = 10 = 2 x 5.

On prend tous les facteurs communs ou non qui figurent dans ces produits : Ce sont: 2, 3, et 5.

• En plus, il faut que chacun d'eux apparaisse avec leurs plus grands exposants. Donc on prend 2² au lieu de 2.

• On fait donc le produit: 2² x 3 x 5 = 4 x 3 x 5 = 60

• Ainsi le ppcm(12,10) est 60.

On peut remarquer que le PPCM est égal au produit du PGCD et des nombres premiers entre eux.

2.3. Méthode 3

Soient deux entiers naturels non nuls a et b . La relation qui lie leur ppcm(a, b) à leur pgcd(a, b) est la suivante:

pgcd(a, b) x ppcm(a, b) = a x b


Connaissant le pgcd(a, b), on peut donc déterminer le ppcm(a, b).

ppcm(a, b) = a x b /pgcd(a, b)


Pour a = 12 et b = 10 , connaissant: pgcd(12, 10) = 2 , on a donc :

ppcm(12, 10) = 12 x 10 /2 = 60.

Ainsi

ppcm(12, 10) = 60.