Mathématiques 45: Arithmétique
Diviseurs d'un nombre

1. Diviseur d'un nombre

1.1. Définition

Le diviseur b d'un nombre a est le nombre qui divise l'entier a sans laisser de reste.

Avec la division euclidienne de a par b, on ecrit:

b est un diviseur de a s'il existe un entier q
tel que :

a = b x q + 0

En d'autres termes:

Si a et b sont deux entiers avec b différent de 0, on dit que a est divisible par b ou que b est un diviseur de a lorsque le quotient de a par b est un entier.

0 ne divise aucun nombre. 1 divise tous les nombres.

1.2. Exemple

12 est un diviseur de 48 parce qu'il existe un entier q = 4 tel que:

48 = 12 x 4 + 0

10 n'est pas un divisur de 48 puisque la division euclidienne de 48 par 10 laisse un reste r = 8.

48 = 10 x 4 + 8.

2. Tous les diviseurs d'un nombre

2.1. La méthode de calcul

Pour trouver tous les diviseurs d'un nombre entier N, on procède de la façon suivante:

• on calcule sa racine carrée,

• on divise le nombre N succéssivement par tous les nombres allant de 1 à sa racine carrée,

• À chaque fois que le quotient est un nombre entier, alors ce quotient et le diviseur sont tous deux des diviseurs de N.

2.2. Exemple

On considère le nombre entier 36.
La racine carrée de 36 est 6.
On divise donc 36 par 1,2,3,4,5, et 6:

36 ÷ 1 = 36
36 ÷ 2 = 18
36 ÷ 3 = 12
36 ÷ 4 = 9
36 ÷ 5 = 7.2: n'est pas un entier
36 ÷ 6 = 6

Ainsi

les diviseurs de 36 sont: 1,2,3,4,6,9,12,18,36.