Mathématiques 45: Arithmétique
Les systèmes de numération

$\color{brown}{\bf \text{ Avec des chiffres, on construit des nombres. Un chiffre, }} \\ \color{brown}{\bf \text{comme 7, est une représentation, un dessin, ou un symbole. }} \\ \color{brown}{\bf \text{Ce dessin s'ecrit differemment dans d'autre langues et }} \\ \color{brown}{\bf \text{dans d'autres numérations. }} \\ \text{} \\ \color{brown}{\bf \text{Le chiffre appelé sept s'ecrit 7 dans le système }} \\ \color{brown}{\bf \text{ décimal. Il s'ecrit 111 dans le système binaire. }} \\ \color{brown}{\bf \text{Mais il y a toujours sept jours dans une semaine.}} \\ $

2. Le système décimal

Le système décimal (ou à base 10) utilise les 10 chiffres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, et 9.

On groupe les chiffres pour construire des nombres.

Les groupements se font par 10 :

avec un groupement de 10 unités on forme une dizaine, avec 10 dizaines une centaine, avec 10 centaines, un millier, ...

45 678 = 4 x 10 000 + 5 x 1000 + 6 x 100 + 7 x 10 + 8

45 678 = 4 x 10⁴ + 5 x 10³ + 6 x 10² + 7 x 10¹ + 8 x 10⁰

2. Le système à base 5

Le système à base5 utilise les 5 chiffres: 0, 1, 2, 3, et 4 .

On groupe les chiffres par 5 pour construire des nombres.

2 301 = 2 x 5³ + 3 x 5² + 0 x 5¹ + 1 x 5⁰
(= 2 x 125 + 3 x 25 + 1 = 250 + 75 + 1 = 326 dans le système décimal)

Le nombre qui s'écrit 2301 en base 5 s'écrit 326 en base 10

On peut faire des groupements par 2, 3, 4, 5, 6...

2. Le système binaire (à base 2)

La numération binaire (à base 2) est le système de numération utilisé par les macine électroniques cpmme l'ordinateur.

Tous les nombres sont représentés avec deux chiffres 0 et 1.

11 011 = 1 x 2⁴ + 1 x 2³ + 0 x 2² + 1 x 2¹ + 1 x 2⁰
(= 1 x 16 + 1 x 8 + 0 x 4 + 1 x 2 + 1 = 27 dans le système décimal)

Le nombre qui s'écrit 11011 en binaire s'écrit 27 en décimal.

Pour passer de la base 10 à la base 2, on utilise l'une des deux méthodes suivantes:

On considère le nombre 42

a) On écrit le nombre sous la forme d'une somme de puissances de 2

42 = 32 + 8 + 2 = 1 x 2⁵ + 0 x 2⁰ + 1 x 2³ + 0 x 2² + 1 x 2¹ + 0 x 2⁰
= 101010

b)On divise succéssivement par 2. On remonte les restes pour ecrire le résultat

• on divise 42 par 2, quotient 21 et reste 0
• on divise ensuite 21 par 2, quotient 10 et reste 1
• on divise ensuite 10 par 2, quotient 5 et reste 0
• on divise ensuite 5 par 2, quotient 2 et reste 1
• on divise ensuite 2 par 2, quotient 1 et reste 0
• on divise ensuite 1 par 2, quotient 0 et reste 1


Le quotient est zéro, on arrête les opérations.

On ecrit le nombre à base 10 en remontant les restes.

L'ecriture cherchée est :101010

2. Le système à base 12

Le système à base douze utilise les 12 chiffres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, et B.

A représente 10 et B représente 11.

On groupe les chiffres par 12 pour construire des nombres.

Exemple:

56 = 48 + 8
= 4 x 12¹ + 8 x 12⁰ =
= 48 : quatre douzaines et huit unités: en base 12