Mathématiques:

Fonction valeur absolue
Valeur absolue avec du second degré

Valeur absolue avec du second degré

Exemple

On veut résoudre l'équation

|x² + 5x | = 6 .

D'après la définition de la valeur absolue, on a:

|x² + 5x | =

+ (x² + 5x) si (x² + 5x) ≥ 0

- (x² + 5x) si (x² + 5x) < 0

Les racines de l'équation x² + 5x sont x = - 5 et x = 0 .

Le polynome x² + 5x est :

• du signe de a (= + 1), donc
≥ 0 à l'extérieur des racines: ] - ∞, - 5] ∪ [0, + ∞ [

• du signe contraire de a (= + 1), donc
< 0 à l'intérieur des racines: ] - 5, 0[

Ainsi :

|x² + 5x | =
x² + 5x dans ] - ∞, - 5] ∪ [0, + ∞ [
- x² - 5x dans ] - 5, 0[

• dans I1 = ] - ∞, - 5] ∪ [0, + ∞ [ : x² + 5x = 6

x² + 5x - 6 = 0 → x1 = - 6, x2 = 1
Les réponses conviennent puisqu'elles se trouvent dans I1 .

• dans I2 = ] - 5, 0[ : - (x² + 5x) = 6

x² + 5x + 6 = 0 → x3 = - 3 , x4 = - 2
Les réponses conviennent puisqu'elles se trouvent dans I2 .

L'ensemble des solutions est donc

S = {- 6, - 3, - 2, 1}