Mathématiques:

Fonction valeur absolue
Équations avec valeur absolue

Équations avec valeur absolue

Exemple 1

On veut résoudre l'équation

f(x) = |3x - 4| = 6.

Graphiquement, deux points répondent à la question.

De façon algébrique, d'après la définition de la valeur absolue, on a:


\[ \large\bf\color{brown}{ \lvert \text{3x - 4} \rvert = \begin{cases} + \; \text{(3x - 4)} \; & \text{si} \qquad x \ge \; \frac{4}{3} \\[2ex] - \; \text {(3x - 4)} \; & \text{si} \qquad x \lt \frac{4}{3} \end{cases} } \]
• x ≥ 4/3

3x - 4 = 6 → x = 10/3

L'intersection de {10/3} et [4/3, ∞[ est {10/3}.
La réponse convient.

• x < 4/3

- 3x + 4 = 6 → x = - 2/3:

L'intersection de {- 2/3} et ]- ∞ 4/3[ est {- 2/3}.
La réponse convient.

L'union des deux réponses constitue l'ensemnble des solutions:

S = {- 2/3, 10/3}

Exemple 2

On veut détérminer les points d'intersection des droites définies par

f(x) = |3x + 6| , et
g(x) = x + 6 .

Graphiquement, deux points répondent à la question.

De façon algébrique, d'après la définition de la valeur absolue, on a:


\[ \large\bf\color{brown}{ \lvert \text{3x + 6 } \rvert = \begin{cases} + \; \text{(3x + 6)} \; & \text{si} \qquad x \ge \; - 2 \\[2ex] - \; \text {(3x + 6)} \; & \text{si} \qquad x \lt - 2 \end{cases} } \]
• x ≥ - 2

3x + 6 = x + 6 → x = 0

L'intersection de {0} et [- 2, ∞[ est {0}.
La réponse convient.

• x < - 2

- 3x - 6 = x + 6 → x = - 3 :

L'intersection de {- 3} et ]- ∞ - 2[ est {- 3}.
La réponse convient.

L'union des deux réponses constitue l'ensemnble des solutions:

S = {- 3, 0}

x = 0 → y = 6
x = - 3 → y = 3

Les points d'intersections des deux droites sont (0,6) et (- 3,3).