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Mathématiques
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Mathématiques: Géométrie
DROITE DES MILIEUX




On rapelle le théorème des milieux:

I. La droite qui passe par les milieux de deux côtés d'un triangle quelconque est parallèle au troisième côté.

II. La longueur du segment qui a pour extrémités les milieux de deux côtés d’un triangle quelconque est égale à la moitié de celle du troisième côté.



Exercice 1

1) Construire un triangle ABC tel que AB = 11 cm, AC = 8 cm et BC = 7 cm.

2) Placer le point I milieu du segment [AB].
3) La droite parallèle à (BC) passant par I coupe la droite (AC) en J.
4) Faire une conjecture sur le point J. La démontrer.
5) Calculer IJ.


Exercice 2

Soit ABCD un carré de côté 10 cm.

On appelle I le milieu de [AB] et J le milieu de [AD].

1) Faire une figure.
2) Montrer que les droites (IJ) et (BD) sont parallèles.
3) En utilisant les propriétés du carré, en déduire que (IJ) est perpendiculaire à (AC).


Exercice 3

Soit le parallélogramme ABCD de centre O et I le milieu de [AB].
Justifier que les droites (IO) et (AD) sont parallèles


Exercice 4

Soit ABC un triangle tel que AC = 8 cm, AB = 7 cm et BC = 6 cm.

1) Faire une figure en vraie grandeur.
2) a) Construire la médiatrice (d) du segment [BC]. Cette droite coupe le segment [BC] en un point P.
b) Rappeler les deux définitions de la médiatrice (d).
c) Que représente alors le point P ?
3) Placer le milieu M du segment [AB].
4) Montrer que les droites (PM) et (AC) sont parallèles.
5) Calculer la longueur PM.


Exercice 5



1) a) Construire un triangle ABL ,
b) Construire les milieux J de [AB] et K de [AL],
c) Construire le symétrique C du point K par la symétrie centrale de centre L.
d) Construire le segmnent [JC] qui coupera le segment [BL] en I.

2) Démontrer que (JK) et (BL) sont parallèles.
3) Démontrer que I est le milieu de [JC].


Exercice 6

Construire un triangle ABC.
Soient I, J et K, les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB].

Soit M un point quelconque.

E est le symétrique de M dans la symétrie de centre I.
F est le symétrique de M dans la symétrie de centre J.
G est le symétrique de M dans la symétrie de centre K.

On obtient alors un triangle EFG.

1) Avec Geogebra:

a) Construire une figure en plaçant le point M à l’intérieur du triangle ABC.
b) Déplacer les sommets du triangle ABC.
c) Déplacer le point M en le plaçant notamment à l’extérieur du triangle ABC.
d) Imprimer pour deux positions différentes.

2) a) Quelle conjecture peut-on faire sur les longueurs EF et AB ?
b) Quelle conjecture peut-on faire sur les triangles ABC et EFG ?

3) a) Montrer que IJ = AB/2.
b) Montrer que IJ = EF/2.
c) Que peut-on en déduire ?

4) De même, on peut montrer que AC = EG et BC = F G.
Que peut-on en déduire sur les triangles ABC et EFG ?


↓Réponse↑



1) a) b) c) d)






2) a) On conjecture que les longueurs EF et AB sont isométriques.
b) On conjecture que les triangles ABC et EFG sont isométriques.

3) a) Dans le triangle ABC:

I est le milieu de [BC]
J est le milieu de [AC]
D'après le théorème II des milieux IJ = AB/2

b) Dans le triangle MEF:

I est le milieu de [ME]
J est le milieu de [MF]
D'après le théorème II des milieux IJ = EF/2

c) On a donc: IJ = AB/2 = EF/2

On en déduit AB = EF

4) Une même démonstration conduit à: FG = BC et GE = AC.

Ainsi les triangles ABC et EFG ont trois côtées isométriques deux à deux. Ces triangles sont donc isométriques.


Exercice 7

ABCD est un parallélogramme.
M est un point du segment [AD].
N est le symétrique du point A dans la symétrie de centre B. Le segment [EF] coupe le segment [BC] en un point P.

1) Faire un dessin à main levé complet (codage, couleurs).
2) Montrer que le point P est le milieu du segment [MN].


Exercice 8



1) Montrer que les droites (PC) et (MN) sont parallèles.
2) Montrer que M est le milieu de [AP].


Exercice 9

ABCD est un rectangle de centre O tel que AB = 6 cm et AD = 2 cm. P est le symétrique du point A par rapport à B.

1) Faire une FIgure en vraie grandeur.
2) Que sait-on des diagonales d’un rectangle ?
3) Montrer que les droites (OB) et (CP) sont parallèles


Exercice 10



Sur cette figure, les points A, I et C sont alignés.

1) Montrer que (NI) est parallèle à (AB).
2) Montrer que (IM) est parallèle à (DC ).
3) En déduire que le quadrilatère ABCD est un trapèze.


Exercice 11



ABCD est un parallélogramme de centre P.
La parallèle à la droite (AD) passant par C coupe (BD) en M.

1) Compléter la figure (couleur, codage).
2) Le point D est-il le milieu de [BM] ?


Exercice 12



Dans un rectangle ABCD, les points I, J, K, et L sont les milieux respectifs des segments [AD], [DC], [CB] et [AB], et p est le milieu du segment [KL].

Quelle fraction de l’aire du rectangle ABCD représente l’aire du triangle PIJ?


Exercice 13

Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 7 cm et BC = 12 cm.

1) Faire une FIgure en vraie grandeur.
2) Soit I le milieu du segment [BC]. Placer I et calculer la longueur AI.
3) Soit J le milieu de segment [AB]. Placer J et calculer la longueur IJ.


Exercice 14



Sur la Fgure ci-contre, on a AB = 8 cm et BC = 6 cm.
pour chaque question, on fera un dessin à main levée du triangle utilisé.

1) Démontrr que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles et calcule la longueur IJ.
2) Démontrer que les droites (LK) et (AB) sont parallèles et calcule la longueur LK


Exercice 15

ABCD est un parallélogramme de centre O.
La parallèle à la droite (DC) passant par O coupe la droite (BC) en E.

1) Faire une figure.
2) Que peut-on dire des diagonales d’un parallélogramme ?
3) Que peut-on dire du point E ? Justifier la réponse.









  


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