Mathématiques 3: Géometrie
Vecteurs et droites

1. Colinéarité de deux vecteurs

• Définition :
Deux vecteurs non nuls et sont colinéaires signifie qu’ils ont même direction c’est-à-dire qu’il existe un nombre réel k tel que = k


• Critère de colinéarité :
Soit et deux vecteurs de coordonnées (x1, y1) et (x2, y2) dans un repère (O, , ,).

Les vecteurs et sont colinéaires si leur déterminant det( ,) est nul , c'est à dire x1 y2 - y1 x2 = 0 .

2. Equations de droite

2.1. Vecteur directeur d'une droite

• Définition :
D est une droite du plan. On appelle vecteur directeur de D tout vecteur non nul qui possède la même direction que la droite D.

2.2. Equation cartésienne d'une droite

• Théorème et définition :
Toute droite D admet une équation de la forme ax + by + c = 0 avec a et b non nul.
Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite D.

Un vecteur directeur de D est (- b ; a).

2.3. Equation cartésienne et équation réduite

Si b ≠ 0 , alors l'équation cartésienne ax + by + c = 0 de la droite D peut être ramenée à une équation réduite y = - (a/b) x - c/b.

Le coefficient directeur de D est - a/b, son ordonnée à l'origine est - c/b.

Un vecteur directeur de D est (1, - a/b).

2.4. Parallélisme de droites

Propriété :
Les droites d'équation ax + by + c = 0 et a' x + b' y + c' = 0 sont parallèles si le déterminant de leurs vecteurs directeurs respectifs (- b, a) et (- b', a') est nul, c'est à dire ab'- a'b = 0

3. Décomposition d'un vecteur

Définition :

On appelle base du plan tout couple de vecteurs non colinéaires.

Propriété :

Soit (;) une base du plan. Pour tout vecteur , il existe un unique couple de nombres réels (a ; b) tel que : = a + b.