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Mathématiques 3: Analyse
Variation des fonctions
Limite d'une fonction en un point
Dérivabilité
Nombre dérivé



1. Limite d'une fonction en un point


Définition :

On dit que f (x) a pour limite L lorsque x tend vers xo si les valeurs de f(x) peuvent être aussi proche de L que l'on veut pourvu que x soit suffisamment proche de xo.

On note :

lim f(x) = L
x → xo


La limite de f(x) lorsque x tend vers xo est égale à L.



2. Dérivabilité


2.1. Coefficient directeur d'une droite


Soit une fonction f définie sur un intervalle I.

Soit deux réels a et b appartenant à I tels que a < b.

Soit A et B deux points de la courbe représentative de f d'abscisses respectives a et b. Le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à :

(f(b)- f(a))/(b - a) .



2.2. Fonction dérivable


Soit une fonction f définie sur un intervalle I.
Soit un réel a appartenant à I.
Soit A et M deux points de la courbe représentative de f d'abscisses respectives a et a+h, avec h ≠ 0.



Le coefficient directeur de la droite (AM) est égal à : (f(a + h) - f(a))/ (a + h - a) = (f(a + h) - f(a))/h .

Lorsque le point M se rapproche du point A, le coefficient directeur de la droite (AM) est égal à la limite de (f(a + h) - f(a))/h lorsque h tend vers 0.

Ce coefficient directeur s'appelle le nombre dérivé de f en a.

Définition :

La fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel L, tel que :

lim (f(a + h) - f (a))/h = L .
h → 0


L est appelé le nombre dérivé de f en a.



3. Tangente à une courbe


Soit une fonction f définie sur un intervalle I, et dérivable en un nombre réel a appartenant à I.

L est le nombre dérivé de f en a.

A est un point d'abscisse a appartenant à la courbe représentative Cf de f.

Définition :

La tangente à la courbe Cf au point A est la droite passant par A de coefficient directeur le nombre dérivé L

Propriété :

Une équation de la tangente à la courbe Cf en A est :

y = L(x - a) + f (a)



Exemple :




L'équation de la courbe Cf est f(x) = x2 - 4x.

Le nombre dérivé L de f en A s'obtient, après 1 unité à droite à partir du point A, de comptant le nobre d'uniés pour rejoindre la droite tangente.

L = 2/1 = 2.

t(x) = 2(x - 3) + f (3)

D'où : f(3) = 32 - 4x3 = - 3.

Donc t(x) = 2(x - 3) - 3 = 2x - 9

L'équation de la tangente à la courbe Cf en A(3, - 3) est donc :

t(x) = 2x - 9








  

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