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Mathématiques 3: Probabilités
Convergence en loi
Théorème de Moivre-Laplace



1. Théorème de Moivre-Laplace


Si la variable Xn suit une loi binomiale d'ordre n et de paramètre p appartenat à ]0,1[, alors la variable

converge en loi vers une loi normale centrée et réduite N(0,1).


Abraham de Moivre établit ce théorème en 1733, dans le cas particulier p = 1/2. Laplace le généralisa en 1812 pour toute valeur de p comprise entre 0 et 1.

Il s'agit d'un cas particulier du théorème central limite, qui est plus général.



2. Théorème de la limite centrale


Le théorème central limite, aussi appelé théorème de la limite centrale ou centrée, établit la convergence en loi de la somme d'une suite de variables aléatoires vers la loi normale.

Ce résultat affirme que toute somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées tend vers une variable aléatoire gaussienne.

La première démonstration de ce théorème fut publiée en 1809 par Pierre-Simon de Laplace.



3. Loi Normale


La loi normale est l'une des lois de probabilité les plus adaptées pour modéliser des phénomènes naturels issus de plusieurs événements aléatoires.

Elle est également appelée loi gaussienne, loi de Gauss ou loi de Laplace-Gauss.

La loi normale est une loi de probabilité absolument continue qui dépend de deux paramètres : son espérance μ, et son écart type σ, un nombre réel positif.

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par :


La loi normale de moyenne nulle μ = 0 et d'écart type unitaire σ = 1 est appelée loi normale centrée réduite ou loi normale standard.

Lorsqu'une variable aléatoire X suit la loi normale, elle est dite gaussienne ou normale. On utilise alors la notation suivante X ≈ N(μ, σ2).

La loi normale standard est donc noté N(0, 1).



4. Courbe encloche


Graphique de loi normale centrée non réduite
ou courbe encloche
:










  

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