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Maths
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Mathématiques 45: Algèbre:
Systèmes d'équations du 1er degré



1. Definitions:

Un système de deux équations à deux inconnues se présente souvent sous la forme suivante:



Résoudre ce système, c'est touver les inconnues x et y.

Pour résoudre ce système, on utilise la plus pratique des trois méthodes: méthode de comparaison, de substitution ou d'addition.

Géométriquement, aux deux équations du système, sont associées des droites dans le plan cartésien. Le point d'intersection de ces deux droites a pour coordonnées le couple-solution du système.



2. Exemple:

On considère le système de deux équations à deux inconnues suivant:

2x + 3y = 4
5x + 6y = 7



2.1. Méthode de comparaison:

On ecrit les deux équations sous forme fonctionnelle:

2x + 3y = 4 donne y = - (2/3)x + 4/3

5x + 7 = 7 donne y = - (5/6)x + 7/6

On compare:

- (2/3)x + 4/3 = - (5/6)x + 7/6
(5/6)x - (2/3)x = + 7/6 - 4/3
(5/6)x - (2/3)x = + 7/6 - 4/3
(1/6)x = - 1/6
x = - 1

En remplaçant dans l'une ou l'autre des équations du système, on trove la valeur de y.

y = - (2/3)(- 1) + 4/3 = 2/3 + 4/3 = 2

y = 2

Le couple-soultion est x = - 1, y = + 2



2.2. Méthode de substitution:

On tire x ou y d'une équation et on le substitue dans l'autre. Le choix de tirer x ou y est juste une question de pratique.

Réecrivons le système:

2x + 3y = 4
5x + 6y = 7


On prend x de la première équation est on le substitue (remplace) dans la deuxième. On obtient:

On isole x: 2x + 3y = 4 → x = - 3y/2 + 4/2 = - 3y/2 + 2

On le remplace dans 5x + 6y = 7 . On obtient:

5(- 3y/2 + 2) + 6y = 7
- 15y/2 + 10 + 6y = 7
12 y/2 - 15y/2 = 7 - 10
- 3y/2 = - 3
3y/2 = 3
3y = 6
y = 2

On remplace y dans l'un ou l'autre des deux équations, on trouve:

2x + 3(2) = 4
2x + 6 = 4
2x = - 2
x = - 1


Le couple-soultion est x = - 1, y = + 2



2.3. Méthode d'addition:

On additionne les deux équations du système après avoir multiplié l'une ou l'autre des équations par un facteur qui permet d'éliminer un inconnue.

Réecrivons le système:

2x + 3y = 4
5x + 6y = 7


Le choix le plus simple est de multiplier la première équation par - 2. Le sustème devient:

(- 2)2x + (- 2)3y = (- 2)4
5x + 6y = 7


C'est à dire:

- 4x - 6y = - 8
5x + 6y = 7


On additionne membre à membre:

- 4x - 6y + 5x + 6y = - 8 + 7
- 4x - 6y + 5x + 6y = - 8 + 7
- 4x + 5x = - 8 + 7
x = - 1

Pour éliminer x, l'autre choix et de multiplier la première équation par + 5, al deuxième par - 2. Le sustème devient:

10x + 15y = 20
- 10x - 12y = - 14


On additionne membre à membre, le 10 x disparaît. Il reste:

15y - 12y = 20 - 14
3y = 6
y = 2


Le couple-soultion est x = - 1, y = + 2



3. Méthode de substitution et
systèmes de plus haut degré:

Plus pratique que les deux autres méthodes, la méthode de substitution est la plus efficace lorsque le système comporte des équations de degré supérieure à 1.

En pratique, on isole une variable de l'équation de plus petit degré pour la substituer dand l'autre équation de plus haut degré.



Exemples:

Système avec une équation du premier degré et l'autre du deuxième degré.


Exemple 1:

- x + 2y = 1
x2 + 4y = 2


On isole x dans la première équation, on trouve: x = 2y - 1.

On le substitue dans la deuxième équation, on trouve:

(2y - 1)2 + 4y = 2
4y2 - 4 y + 1 + 4y = 2
4y2 = 2 - 1 = 1
y2 = 1/4

y = + 1/2 ou y - 1/2

On remplace dans la première équation:

y par + 1/2, - x + 2(1/2) = 1. On obtient x = 0

y par - 1/2, - x + 2(- 1/2) = 1. On obtient x = - 2

Les deux couple-soultion sont:

x = 0, y = + 1/2
x = - 2, y = - 1/2


Exemple 2:

y = x2 + 1
y = x + 3




On compare x + 3 et x2 + 1. On trouve:

x2 + 1 = x + 3
x2 - x - 2 = 0
x2 - x - 2 + x - x = 0
x2 - 2x - 2 + x = 0
x(x - 2) + x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1)= 0
x = - 1 , x = + 2

Les deux couple-soultion sont:

x = - 1, y = + 2
x = + 2, y = + 5



4. Vérifier les résultas à l'aide du logiciel suivant:

Systèmes de deux équations

Système de 2 équations à 2 inconnues



x   +   y   =  
x   +   y   =  
 
Résultats:








  


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