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Mathématiques 45: Algèbre:
Fonction quadratique



Fonction quadratique


1. Forme générale

La forme générale d'une fonction quadratique est

f(x) = ax2 + bx + c

La courbe d'une fonction quadratique est une parabole.


2. Orientation de la parabole:

Si a > 0, la parabole sera ouverte vers le haut
Si a < 0, la parabole sera ouverte vers le bas



2. Les zéros de la fonction:

L'équation ax2 + bx + c = 0 a :

Deux solutions distinctes si Δ > 0:
x1 = (- b + √Δ)/2a , et
x2 = (- b + √Δ)/2a

Une solution double si Δ = 0:
x12 = - b/2a

Aucune solution si Δ < 0:
x12 = - b/2a

Avec Δ = b2 - 4ac.



3. Sommet de la parabole:

Le sommet de la parabole = (h, k) avec

h = - b/2a, et
k = (4ac - b2)/4a



3. Forme canonique de la fonction quadratique:

Avec

h = - b/2a, et
k = (4ac - b2)/4a,

la forme générale ax2 + bx + c devient:

f(x) = a(x - h)2 + k

C'est la forme canonique de la fonction quadratique.



4. Signification des paramètres h et k

. Le paramètre h traduit une translation horizontale selon l'axe des x:

si h > 0, la translation se fait vers la droite de h unités.
si h < 0, la translation se fait vers la gauche de h unités.

. Le paramètre k traduit une translation verticale selon l'axe des y:

si k > 0, la translation se fait vers le haut de k unités.
si k < 0, la ranslationse fait vers le bas de k unités.



5. Exemple:



Soit le trinôme : 3x2 + 12x + 2

Il possède deux racines distinctes :

- 3.83 et - 0.17

Sous forme factorisée, il s'ecrit donc :

3(x + 3.83)(x + 0.17)

Sous forme canonique:

h = - b/2a = - 12/(2x3) = - 2 et
k = - 122/(4x3) + 2 = - 12 + 2 = - 10.

Donc:

3x2 + 12x + 2 = 3(x + 2)2 - 10 .








  


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