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Maths
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© The scientific sentence. 2010


Mathématiques 2: Polyèdres



1. Définitions

1.1. Polyèdre


Un solide est une portion d'espace limitée par une surface fermée.

Un polyèdre est un solide limité par des faces planes formées par des polygones.

Le développement d'un polyèdre est la figure plane obtenue par un mise à plat de sa surface; dont chacune des faces est relié à au moins une autre face par une arête commune.



1.2. Prisme

Un prisme est une polyèdre formé par deux faces isométriques et parallèles appelées bases. Les parallélogrammes qui relient ces deux bases sont appelés des faceslatérales

Un prisme est droit si ses faces latérales sont des rectangles.

Un prisme est régulier s'il est droit et en plus sa base est un polygone régulier.

La hauteur d'un prisme droit est la distance entre les deux bases du prisme.



1.3. Pyramide

Une pyramide est polyèdre formé d'une seule base et dont les faces latérales sont des triangles. Ces triangles ont un même sommet commun appelé apex.

Une pyramide est droite si la hauteur abaissée à partir de l'apex se trouve au milieu de la base.

Une pyramide est régulière si elle droite et en plus sa base est formée d'un polygone régulier.

La hauteur d'une pyramide droite est la distance entre l'apex et la base de la pyramide.



2. polyèdres réguliers




3. Développement d'un polyèdre


3.1. Octaèdre

Voici trois parmi les 11 façons de développer un octaèdre:



3.2. Dodécaèdre

Développement d'un dodécaèdre:
   



4. Exemples


4.1. Prisme régulier à base pentagonale


Cette "chose" est un solide puisqu'il occupe un espace limité par une surface fermée qui est formée par ses deux bases et sa surface latérale.

Cette surface fermée est constituée de faces planes formées par des polygones, ce solide est donc un polyèdre.

Ce polyèdre est un prisme puisque ses bases sont isométriques et parallèles. Ses faces latérales sont des rectangles, ce prisme et donc droit. En plus sa base est un polygone régulièr; le prisme est donc régulier.



4.2. Pyramide régulière à base pentagonale


Cette "chose" est un solide puisqu'il occupe un espace limité par une surface fermée qui est formée par sa base et sa surface latérale.

Cette surface fermée est constituée de faces planes formées par des polygones, ce solide est donc un polyèdre.

Ce polyèdre est une pyramide puisqu'il est formé d'une seule base polygonale et de faces latérales qui sont des triangles ayant un apex. Cette pyramide est droite puisque la hauteur abaissée depuis l'apex rencontre la base en son milieu. En plus cette base est un polygone régulier. La pyramide est donc régulière.



5. Exercice

5.1. Question

Voici un polyèdre régulier:


ABCD est la section d'une pyramide

Cette section est obtenue en coupant une grande pyramide à base carrée parallèlement à sa base. La section ABCD reste donc carrée.

En coupant la pyramide, on obtient aussi:

- une petite pyramide à base carrée OA'B'C'D' et
- un polyèdre régulier qui n'est pas une pyramide ni un prisme.

a) Placer dans une figure la pyramide OABCD qui résulte de la coupe de la pyramide OA'B.C'D'.

b) Donner la signification du point O

c) Calculer l'aire totale de la grande pyramide OABCD.

On donne:

A'D' = 10 cm
AD = 8 cm
DD' = 4 cm



5.2. Réponse

a)

Rappels:

Rappel 1:

La section d'un solide est la face obtenue par un plan qui coupe ce solide.

Rappel 2:

L'homothétie est une transformation géométrique qui associe à toute figure initiale une figure image selon un point fixe appelé centre d'homothétie, et un rapport appelé rapport d'homothétie.

Dans une homothétie, l'image d'un point est située sur la droite passant par ce point et le centre d'homothétie.

L'homothétie est une transformation qui permet d'obtenir des figures ayant:
- des angles homologues isométriques
- des côtés homologues parallèles
- des mesures des côtés homologues proportionnelles

Deux figures sont semblables si l'une est un agrandissement, une réduction, ou la reproduction exacte de l'autre.

Dans deux figures semblables:
- les angles homologues sont isométriques
- Les mesures des côtés homologues proportionnelles

Le rapport de smilitude est égal à (mesure d'un côté de la figure image)/(mesure du côté homolgue de la figure initiale).

b)

Le point O le centre d'homothétie.

c)
Soit x la mesure du côté oblique OD.

Le rapport de similitude des triangles OAD et OA'D' s'ecrit:

x/(x + DD') = OA/OA' = AD/A'D'
x/(x + 4) = 8/10 = 4/5

On résout pour x

x/(x + 4) = 4/5 → 5 x = 4(x + 4) = 4 x + 16
x = 16 cm.

Par conséquent

OD' = OD + DD' = 16 + 4 = 20 cm.

OD' = 20 cm.

Soit "a" l'apothème de la grande pyramide.
Le théorème de Pythagore permet d'ecrire:

a2 + (A'D'/2)2 = (OD')2
a2 + (10/2)2 = (20)2
a2 = 400 - 25 = 375
a = 19.36 cm

a = 19.36 cm.

L'aire latérale de la grande pyramide est égale à Al = 4 x 19.36 x 5 /2 = 193.6 cm2

L'aire de la base de la grande pyramide est égale à Ab = 10 x 10 = 100 cm2

L'aire totale de la grande pyramide est égale à A = Al + Ab = 193.6 + 100 = 293.6 cm2

L'aire totale de la grande pyramide est égal à 293.6 cm2.








  


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