Maths - 2 -
Fonctions
© The scientific sentence. 2010
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Mathématiques 2: Valeur absolue
1. Définition
La valeur absolue ou le module
d'un nombre réel est égale à ce nombre réel lui
même quand il est positif; et est égale à son
opposé lorsque ce nombre est négatif.
La valeur absolue d'un nombre x est notée |x|.
Si |x| est la valeur absolue d'un nombre réel,
alors
x si x ≥ 0
|x| =
- x si x < 0
2. Exemples:
|+ 3| = 3
|- 2| = - (-2) = 2
|0| = 0
|1/8| = 1/8
3. Propriétés:
∀a ∈ ℝ :
|a| ≥ 0
|a| = |- a|
a ≤ |a|
- a ≤ |a|
∀a, b ∈ ℝ :
|a + b| ≤ |a| + |b|
|a| - |b| ≤ |a - b|
|a . b| = |a| . |b|
|a / b| = |a| / |b| si b ≠ 0
|a| = |b| ↔ a = b ou a = - b
∀r > 0 : |a| ≤ r ↔ - r ≤ a ≤ r
∀r > 0 : |a| ≥ r ↔ a ≤ - r ou a ≥ r
∀r > 0 : |a - b| ≤ r ↔ (b - r) ≤ a ≤ (b + r)
4. Valeur absolue, équations et inéquations:
Afin d'utiliser la définition d'une valeur
absolue et ses propriétés, nous allons
résoudre dans R les équations et inéquations
suivantes:
1) |x + 1| = 2x - 3
2) |x2 - 1| = |x + 5|
3) - 1 ≤ (3x + 1)/(x + 2) ≤ 1
4) |2x + 3| - |3x - 2| ≤ 0.
5) 1 ≤ |2x + 1| < 3
6) x2 + 3x + 2 ≥ |x + 1|
7)|x2 + 3x + 2| ≤ x - 1
1) Par définition |x + 1| =
x + 1 si x + 1 ≥ 0
- (x + 1) si x + 1 < 0
Donc |x + 1| =
x + 1 si x ≥ - 1
- x - 1 si x < - 1
Ainsi,
si x ≥ - 1, l'équation s'écrit x + 1 = 2x - 3 , x = 4
si x < - 1, l'équation s'écrit - x - 1 = 2x - 3 , 3x = 2,
x = 2/3, solution à rejeter puisque x < - 1.
Donc l'équation a pour unique solution 4.
2) |x2 - 1| = |x + 5|
Si deux réels sont égaux en valeur absolue alors ils
sont égaux ou opposées. L'équation donnée
est donc équivalente à:
x2 - 1 = x + 5 ou x2 - 1 = - x - 5 , x2 - x - 6 = 0 ou
x2 + x + 4 = 0:
L'équation
x2 - x - 6 = 0 , (x - 3)(x+2) = 0 a pour solutions
- 2 et 3. Par contre,
l'équation x2 + x + 4 = 0 n'a pas de solution réelle puisque
Δ = 1 - 16 = - 15 < 0. Les solutions de l'équation
donnée sont donc - 2 et 3
3) - 1 ≤ (3x + 1)/(x + 2) ≤ 1
3) Cette inéquation n'est définie que si x ≠ 2.
Elle s'écrit de façon équivalente sous la forme
|(3x + 1)/(x + 2)| ≤ 1.
Comme |a / b| = |a| / |b| si b ≠ 0
et |b| > 0, l'inéquation ci-dessus est équivalente à
|(3x + 1) ≤ (x + 2)
Vu que |(3x + 1) et (x + 2)| sont positifs, on a
(3x + 1)2 ≤ (x + 2)2
(3x + 1)2 - (x + 2)2 ≤ 0
[(3x + 1) - (x + 2)][(3x + 1) + (x + 2)]
(4x + 3)(2x - 1) ≤ 0.
Le premier membre s'annule pour x = - 3/14 ou x = 1/2
le trinôme est négatifpour les valeurs de x
comprises entre -3/4 et 1/2. L'ensemble des solutions
est [- 3/4, +1/2].
4)
|2x + 3| - |3x - 2| ≤ 0.
Soit h(x) = |2x + 3| - |3x - 2|
Le premier terme de h possède une racine
en x = - 3 et le deuxième possède une racine
en x = 2 .
Tableau de signes:
| -∞ < x≤ -3/2 | -3/2 ≤ x ≤ 2/3 | x ≥ 2/3 |
|2x + 3| | -2x - 3 | 2x + 3 | 2x + 3 |
|3x - 2| | -3x + 2 | -3x + 2 | 3x - 2 |
h(x) | x - 5 | 5x + 1 | - x + 5 |
La fonction h est donc définie comme suit:
x - 5 si x ≤ -3/2
h(x) = 5x + 1 si - 3/2 ≤ x ≤ 2/3
-x + 5 si x ≥ 2/3.
Examinons maintenant le signe de h sur chaque
intervalle :
h(x) = x - 5 ≤ 0 si x ≤ 5,
donc sur ] - ∞ , -3/2] on a h(x) ≤ 0.
h(x) = 5x + 1 ≤ 0 si x ≤ -1/5,
donc h(x) ≤ 0 sur [-3/2, -1/5] et
h(x) ≥ 0 sur [-1/5, 2/3]
h(x) = - x + 5 ≤ 0 si x ≥ 5,
donc h(x) ≤ 0 sur [5,∞ [ et
h(x) ≥ 0 sur [2/3, 5].
Ainsi la solution à l'inéquation
est ]- ∞ , -1/5] ∪ [5,∞ [.
5)
L'inéquation 1 ≤ |2x + 1| < 3 est équivalente
au systµeme
1 ≤ |2x + 1| (1)
|2x + 1| ≤ 3 (2)
L'inéquation (1) peut s'écrire
2x + 1 ≤ - 1 ou 2x + 1 ≥ 1 ↔ x ≤ - 1 ou x ≥ 0
Son ensemble de solutions est:
S1 = ] - ∞, - 1]∪ [0; +∞[.
L'inéquation (2) peut s'écrire
- 3 ≤ 2x + 1 ≤ 3 , - 4 ≤ 2x ≤ 2 ↔ - 2 ≤ x ≤ 1
Son ensemble de solutions est:
S2 = ]- 2, 1[.
Les inéquations (1) et (2) doivent être vériées
simultanément. Par conséquent, les solutions doivent
être communes aux deux inéquations. L'ensemble de
solutions est donc l'intersection des ensembles
S1 et S2. Donc S = S1 ∩ S2 = ]- 2; - 1] ∪ [0; 1[.
6) x2 + 3x + 2 ≥ |x + 1|
Si x ≥ - 1, l'inéquation s'écrit
x2 + 3x + 2 ≥ x + 1, x2 + 2x + 1 ≥ 0,
(x + 1)2 ≥ 0. Le carrée d'un
réel étant toujours positif, toute valeur de x est
solution avec la condition x ≥ - 1. Ainsi l'ensemble
des solutions est S1 = [- 1; + ∞[.
Si x < - 1, l'inéquation s'écrit
x2 + 3x + 2 ≥ - x - 1 , x2 + 4x + 3 ≥ 0, (x + 1)(x + 3) ≥ 0
Son ensemble de solutions est S2 = ] - ∞, - 3] ∪ {- 1}
puisque la condition est x < - 1.
Ainsi l'ensemble S des solutions de l'inéquation
donnée est la réunion des ensembles S1 et S2.
S = S1 ∪S2 = ] - ∞, - 3] ∪ [- 1; + ∞[.
7)|x2 + 3x + 2| ≤ x - 1
Les zéros du trinôme x2 + 3 x + 2 = (x + 1)(x + 2)
sont - 1 et - 2. De plus, comme le coefficient de
x2 est positif, ce trinôme est positif pour les
valeurs de x inférieures à - 2 ou supérieures à - 1
et négatif pour celles comprises entre - 2 et - 1.
Donc |x2 + 3x + 2| =
x2 + 3x + 2 si x ≤ - 2 ou x ≥ - 1
- x2 - 3x - 2 si - 2 ≤ x ≤ - 1
x ≤ - 2 ou x ≥ - 1, l'inéquation s'écrit
x2 + 3x + 2 ≤ x - 1 , x2 + 2x + 3 ≤ 0,
Cette inéquation n'admet aucune solution puisque
le discriminant Δ = 4 - 12 = - 8 < 0.
Si - 2 ≤ x ≤ - 1, l'inéquation s'écrit
- x22 - 3x - 2 ≤ x - 1, x2 + 4x + 1 ≥ 0.
Le discriminant Δ = 16 - 4 = 12, les
zéros du trinôme sont x1 = - (4 + 2√3)/2
= - (2 + √3) = - 3.7
et x2 = - (4 - 2√3)/2 = - (2 - √3) = - 0.3.
Ce trinôme est positif si x ≤ x1 ou x > x2.
Ces valeurs ne satisfont pas la condition - 2 ≤ x ≤ - 1,
c'est à dire les valeurs de x1 = - 3.7 et x2 = - 0.3 ne
se trouvent pas dans - 2 ≤ x ≤ - 1 ou [- 2, -1].
Donc l'ensemble des solutions de cette deuxième
inégalité est également vide.
Finalement, l'inéquation donnée n'est vérifée pour
aucune valeur de x: son ensemble de solutions est
l'ensemble vide Φ.
8) h(x) = |7 x - 2|- |3 x - 3| ≥ 2
|7 x - 2| =
7 x - 2 si 7 x - 2 ≥ 0, x ≥ 2/7
- 7 x + 2 si 7 x - 2 < 0, x < 2/7
|3 x - 3| =
3 x - 3 si 3 x - 3 ≥ 0, x ≥ 1
- 7 x + 2 si 3 x - 3 < 0, x < 1
- 4x - 3 ≥ 0 x ≤ - 3/4, dans ]- ∞, 2/7]
Donc S1 = ]- ∞, - 3/4]
10 x - 7 ≥ 0 x ≥ 7/10 dans [2/7, 1]
Donc S2 = [7/10, 1]
4 x - 1 ≥ 0 x ≥ 1/4, dans [1, + ∞[
Donc S3 = [1/4, + ∞[
S = ]- ∞, - 3/4] ∪ [7/10, 1] ∪ [1/4, + ∞[.
9) Soit l'équation suivante:
|- 5 x + 3| - 5 = √(4 x + 5)
Il faut que (4 x + 5) soit positif ou null,
c'est à dire x ≥ - 5/4.
|- 5 x + 3| = √(4 x + 5) + 5
a) - 5 x + 3 ≥ 0, x ≤ 3/5
- 5 x + 3 = √(4 x + 5) + 5
- 5 x - 2 = √(4 x + 5)
(- 5 x - 2)2 = 4 x + 5
25 x2 + 20 x + 4 = 4 x + 5
25 x2 + 16 x - 1 = 0
x1 = 0.06
x2 = - 0.7
b) - 5 x + 3 ≤ 0, x ≥ 3/5
5 x - 3 = √(4 x + 5) + 5
5 x - 8 = √(4 x + 5)
(5 x - 8)2 = (4 x + 5)
25 x2 - 80 x + 64 = 4 x + 5
25 x2 - 84 x + 59 = 0
Pas de solutions.
Avec la contrainte x ≤ 3/5 = 0.6
x1 = 0.06 et x2 = - 0.7 correspondent bien aux
solutions. Avec la contarinte de départ
x ≥ - 5/4 = - 1.25, x1 = 0.06 et x2 = - 0.7
restent des solutons. Ainsi, l'ensemble des solutions
de l'équation donnée est:
S = {0.06 et x2 = - 0.7}
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