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Mathématiques 2: Solides
polyèdres et corps ronds
1. Crampon
On veut calculer:
. La surface totale de ce
crampon constitué de deux cylindres de diamètre
d et D l'un au dessus de l'autre sur lesquels
onpose une pyramide d'apothème a , à base carré
de diagonale d.
. Le nombre de crampons à peindre avec 1 L
de chrome.
d est la diagonale du carré. Le théorème de
Pythagore permet d'ecrire:
d2 = b2 + b2 = 2b2
Donc le côté b a pour expression:
b = d/√2
d est aussi le diamètre du cercle C1.
Calcul des aires:
1. l'aire latérale de la pyramide:
A1 = 4 x b x a /2 = 2 a b = 2 a d/&radic.;2
A1 = 2 a d/√2
2. L'aire de la surface comprise entre le
cercle de diamètre d est le carré de diagonale d :
Elle est égale à 4 fois l'aire de la surface comprise entre
un arc et sa corde. Elle vaut:
π d2/4 - b2 = π d2/4 - d2/2
A2 = π d2/4 - d2/2
3. L'aire latérale du cylindre de diamètre d:
Elle est égale à :
A3 = π d h1
4. L'aire comprise entre les deux cercle C1 et C2:
Elle es égale à:
A4 = π D2/4 - πd2/4
5. L'aire latérale du cylindre de diamètre D:
Elle est égale à :
A5 = π D h2
6. L'aire de la base inférieure du cylindre
de diamètre D:
Elle est égale à :
A6 = π D2/4
L'aire totale du crampon est:
A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 =
= 2 a d/√2 + π d2/4 - d2/2 +
π d h1 + π D2/4 - πd2/4 +
π D h2 + π D2/4 =
A = 2 a d/√2 - d2/2 +
π d h1 + 2 π D2/4 +
π D h2
Application numérique :
On donne:
a = 1 cm, d = 1.2 cm , h1 = 0.6 cm , h2 = 0.4 cm
A = 2 x 1 x 1.2 /√2 - (1.2)2/2 +
π x 1.2 x 0.6 + 2 π (2)2/4 +
π x 2 x 0.4 =
2.4/√2 - 0.72 +
π x 0.72 + 2 π + π x 0.8 =
0.977 + 11.05 = 12.03 cm2
A = 12.03 cm2.
Si 1 mL de chrome couvre 1 cm2, il faut donc
12.03 mL pour peindre toute la pièce.
1000 mL/12.3 mL = 83.13
C'est à dire dans un litre, il y a 83.13 fois 12.3 mL.
Ainsi
1 litre de chrome peut
couvrir
jusqu' à 83 crampons .
2. Pièce usinée
Calculer l'aire extérieure et l'aire intérieure de la pièce usinée représentée ci-contre.
La surface intérieure sera recouverte de
peinture anti-rouille et la surface extérieure recouverte de chrome.
1. L'aire extérieure:
Aire latérale = 2π(a + b) h
Aire des deux bases = 2 x π (a + b)2 - πa2
Aire totale extérieure:
Ae = 2π(a + b) h + 2 x π (a + b)2 - πa2
2. L'aire intérieure:
Ai = 2 x (2 π a/4 + a + a)h = a(π + 1) h
Ai = a(π + 1) h
Application numérique
Ae = 2π(9.5 + 2.5) x 22 + 2 x π (9.5 + 2.5)2 - π(9.5)2 = 1657.92 + 904.32 - 283.38 = 2278.86
cm2
Ae = 2278.86 cm2
Ai = 9.5(π + 1) x 22 = 865.26 cm2
Ai = 865.26 cm2
3. Le coût en chrome et peinture:
Chrome pour surface extérieure:
0.08 $/cm2
Donc 2278.86 cm2 coutera :
2278.86 x 0.08 = 182.30 $
Anti-rouille pour surface intérieure:
1.30 $/dm2
1 dm2 = 100 cm2
Donc 865.26 cm2 coutera :
865.26 x 1.30 /100 = 11.25 $.
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