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Algèbre
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Mathématiques 2: Les nombres périodiques
1. Définition
Un nombre est périodique ou cyclique lorsqu'il est
composé d'une suite répétitive de nombres naturels.
un nombre décimal peut s'écrire sous la forme
d'une fraction décimale c'est à dire une fraction dont le dénominateur est une puissance de dix.
Ainsi un nombre décimal est rationnel. Les nombres décimaux font partie des nombres rationnels.
Puisqu'on peut toujours mettre un nombre décimal périodique sous forme d'une fraction, alors:
Un nombre décimal périodique est un nombre rationnel.
C'est ce que nous allons montrer ...
2 Exemples
Le nombre 33333333333 est un entier périodique.
Sa période est égale à 3.
72727272 est périodique.
Sa période est égale à 72.
457 457 457 457 est périodique.
Sa période est égale à 457.
0.3333333333 est décimal périodique.
Sa période est égale à 3.
2/11 = 0.18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 ...
est périodique.
Sa période est égale à 18.
5/7 = 0.714285 714285 714285 714285 714285 ...
est périodique.
Sa période est égale à 714285.
π = 3.141592653589793238
n'est pas périodique.
√3 = 1.73205080756887729...
n'est pas périodique.
√213 = 14.594519519326424 ...
n'est pas périodique.
2. Conversion d’un nombre décimal
périodique en fraction
2.1 Exemples
Exemple 1:
0.3333... : nombre décimal périodique de période 3.
Le nombre est N = 0.333…
On le multplie par 10 = 101 parce que sa période
contient 1 chiffre:
10 N = 3.333...
On soustrait N de 10 N, on obtient:
10 N - N = 3.333 - 0.333 = 3
9 N = 3
Ainsi N = 3/9 = 1/3.
La fraction du nombre périodique 0.3333..... est 3/9.
Exemple 2:
0,232323... : nombre décimal périodique de période 23.
Le nombre est N = 0.232323...
On le multplie par 100 = 102 parce
que sa période contient 2 chiffres.
100 N = 23.2323...
On soustrait N de 100 N, on btient:
100 N - N = 23.2323... - 0.232323... = 23
99 N = 23
Ainsi N = 23/99
La fraction du nombre décimal périodique 0.232323... est 23/99.
Voici la formule générale:
Exemple 3:
Il faut s'assurer que la période
commence après la virgule. Lorsque ce n'est pas
le cas, il faut transformer le nombre pour qu'il
soit ainsi:
Le nombre N = 0.4676767... est de période 67. Il
contient une partie fixe qui est le nombre 4.
On doit multiplier le nombre N par 10, le transformer
en fraction, puis ensuite le diviser par 10. Ainsi :
N' = 10 N = 4.676767...
4.676767... = 4 + 0.676767...
0.676767... = 67/99
Donc N' = 4 + 67/99 = 396/99 + 67/99 = 463/99
Ainsi
N = 463/99 ÷ 10 = 463/990
2.2. Procédure (Optionnel)
Cette partie est optionnelle. Mais on peut
utliser sa formule pour ecrire la fraction de
n'importe quel nombre décimal périodique.
Soit N un nombre décimal périodique de période p.
Ce nombre peut donc s'ecrire:
N = x.ppppp... = x.p̄ (1)
x est la partie entière de N.
p̄ est sa partie décimale contenant une intinité
de nombres (périodes) p.
Si p comporte m chiffres, alors
10m N = xp.ppppp... = xp.p̄ (2)
xp signifie que x est juxtaposé avec p. Sa vraie valeur
est x multiplié par 10m + p. L'entier m est égal au
nombre de chiffres que contient la période.
Soustrayons (1) de (2), on obtient:
10m N - N = xp.p̄ - x.p̄
ou
(10m - 1)N = xp.p̄ - x.p̄ = xp - x
Ainsi N = (xp - x)/(10m - 1) = x + p/(10m - 1)
Si
N = x.p̄
, avec m chiffres dans p:
N = x + p/(10m - 1)
Si le nombre contient une partie fixe,
il faut le multiplier par une puissance de 10
de telle sorte que la période commence après
la virgule.
Exemple 1:
N = 5.789 789 789 ...
= 5 + 789/(103 - 1) =
5 + 789/999 = 5784/999.
Exemple 2:
N = 5.44 789 789 789 ...
N' = 100 N = 544. 789 789 789 ... =
544 + 789/(103 - 1) =
544 + 789/999 = 544245/999.
N = 544245/99900.
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