Mécanique:
Système isolé à deux corps
Théorème du moment cinétique

1. Théorème du moment cinétique

On sait que le moment cinétique d'un système par rapport à une origine d'un repère (R) s'ecritL

$$\large\color{brown}{ \vec{\mathbf{L}} = \vec{\mathbf{r}} \times \vec{\mathbf{P}} }$$
$\bf \vec{\mathbf{r}}$ et $\bf\vec{\mathbf{P}}$ sont respectivement le vecteur position et le résultance cinétique du système.

En dérivant par rapport au temps, on obtient:

$\color{brown}{ \frac{d\vec{\mathbf{L}}}{dt} = \frac{d\vec{\mathbf{r}}}{dt} \times \vec{\mathbf{P}} + \vec{\mathbf{r}} \times \frac{d\vec{\mathbf{P}}}{dt} }$ =

$\color{brown}{ \vec{\mathbf{v}} \times \vec{\mathbf{P}} + \vec{\mathbf{r}} \times \frac{d\vec{\mathbf{P}}}{dt} }$

Nous avons:

$\color{blue}{ \vec{\mathbf{v}} \times \vec{\mathbf{P}} = \text{(m)} \vec{\mathbf{v}} \times \vec{\mathbf{v}} = \vec{\mathbf{0}} }$

et

$\color{blue}{ \frac{d\vec{\mathbf{P}}}{dt} = (m)\frac{d\vec{\mathbf{v}}}{dt} = (m)\vec{\mathbf{a}} = \vec{\mathbf{F}} }$

Donc
$$\large\color{brown}{ \frac{d\vec{\mathbf{L}}}{dt} = \vec{\mathbf{r}} \times \vec{\mathbf{F_{ext}}} }$$
$\color{red}{ \vec{\mathbf{r}} \times \vec{\mathbf{F_{ext}}} }$ est le moment de la force $\color{blue}{ \vec{\mathbf{F}} }$ par rapport au point O.
On le note $\large\color{maroon}{ \vec{\mathbf{M_O}}(\vec{\mathbf{F_{ext}}}) }$

Plus précisément,

Dans un repère (R) de centre O , si $\large\color{green}{ \vec{\mathbf{L_O}} }$ est le moment cinétique, par rapport à O, du système, alors : $$\large\color{red}{ \frac{d\vec{\mathbf{L_O}}}{dt} = \vec{\mathbf{M_O}}(\vec{\mathbf{F_{ext}}}) }$$ Plus généralement, $$\large\color{blue}{ \frac{d\vec{\mathbf{L_O}}}{dt} = \sum{ \vec{\mathbf{M_O}}(\vec{\mathbf{F_{ext}}}) } }$$ C'est le théorème du moment cinétique.

2. Cas du système isolé

Dans le cas d'un système isolé, c'est à dire $\large\color{brown}{ \sum{ \vec{\mathbf{M_O}}(\vec{\mathbf{F_{ext}}}) } = \vec{\mathbf{0}} }$, on aura:

$$\large\color{red}{ \frac{d\vec{\mathbf{L_O}}}{dt} = \vec{\mathbf{0}} }$$
Le moment cinétique d'un système isolé se conserve.