Mécanique:
Mouvement relatif du système dans (R)
Mouvement relatif du système dans (B)

Mouvement relatif du système dans (R)

À partir des vecteurs position $\vec{\mathbf{OM_1}}$ et $\vec{\mathbf{OM_2}}$ des particules M1 et M2, on en déduit le vecteur relatif déplacement

$\vec{\mathbf{r}} = \vec{\mathbf{M_1M_2}} = \vec{\mathbf{OM_2}} - \vec{\mathbf{OM_1}}$

qui correspont au vecteur vitesse

$\vec{\mathbf{v}} = \frac{d\vec{\mathbf{r}}}{dt} = \vec{\mathbf{v_2}} - \vec{\mathbf{v_1}}$

et à un vecteur accélération

$$\large\color{blue}{ \vec{\mathbf{a}} = \frac{d\vec{\mathbf{v}}}{dt} = \frac{d^2\vec{\mathbf{r}}}{dt^2} = \vec{\mathbf{a_2}} - \vec{\mathbf{a_1}} }$$

Mouvement relatif du système dans (B)

À partir des vecteurs position $\vec{\mathbf{GM_1}}$ et $\vec{\mathbf{GM_2}}$ des particules M1 et M2, on en déduit le vecteur relatif déplacement

$\vec{\mathbf{r}} = \vec{\mathbf{M_1M_2}} = \vec{\mathbf{GM_2}} - \vec{\mathbf{GM_1}}$

qui correspont au vecteur vitesse

$\vec{\mathbf{v}} = \frac{d\vec{\mathbf{r}}}{dt} = \vec{\mathbf{v_2}} - \vec{\mathbf{v_1}}$

et à un vecteur accélération

$\vec{\mathbf{a}} = \frac{d\vec{\mathbf{v}}}{dt} = \frac{d^2\vec{\mathbf{r}}}{dt^2} = \vec{\mathbf{a_2}} - \vec{\mathbf{a_1}}$

$$\Large\color{red}{ \vec{\mathbf{a}} = \frac{d^2\vec{\mathbf{GM_2}}}{dt^2} - \frac{d^2\vec{\mathbf{GM_1}}}{dt^2} }$$
$\vec{\mathbf{a}}$ est le vecteur relatif accélération.

Quelle est alors sa masse correspondante?

$\vec{\mathbf{a}} = \vec{\mathbf{a_2}} - \vec{\mathbf{a_1}} = \frac{\vec{\mathbf{F_2}}}{\text{m2}} - \frac{\vec{\mathbf{F_2}}}{\text{m1}}$

Puisque $\vec{\mathbf{F_1}} = - \vec{\mathbf{F_2}}$, on ecrit:

$$\Large\color{green}{ \vec{\mathbf{F_1}} = - \; \vec{\mathbf{F_2}} = \vec{\mathbf{F}} }$$
On a alors

$\vec{\mathbf{a}} = \vec{\mathbf{F}} (\frac{1}{\text{m2}} + \frac{1}{\text{m1}}) = \vec{\mathbf{F}} (\frac{\text{m1 + m2}}{\text{m1 m2}})$

ou

$\vec{\mathbf{F}} = (\frac{\text{m1 m2}}{\text{m1+ m2}}) \vec{\mathbf{a}}$ $$\Large\color{blue}{ \vec{\mathbf{F}} = \mu \vec{\mathbf{a}} }$$
Avec
$$\Large\color{green}{ \mu = \frac{\text{m1 m2}}{\text{m1+ m2}} }$$
appelée masse réduite du système.


Dans le référentiel galiléen du centre de masse, le mouvement du système à deux corps se réduit à celui d'un point matériel M de masse réduite μ de vecteur position égale à $\vec{\mathbf{GM}} = \vec{\mathbf{M_1M_2}}$ et soumis à une force $\vec{\mathbf{F}} = \vec{\mathbf{F_1}} = - \vec{\mathbf{F_2}}$.

Position du point pondéré (M, μ) dans (B)

On sait que le G, M1 et M2 son alignés. Si on impose un point M tel que $\vec{\mathbf{GM}} = \vec{\mathbf{M_1M_2}}$ , on peut alors connaitre $\vec{\mathbf{GM}}$ sachant $\vec{\mathbf{GM_1}}$ et $\vec{\mathbf{GM_2}}$ ou l'inverse.

En effet, On sait que

$\bf\color{blue}{ \text{(m1)} \vec{\mathbf{GM_1}} + \text{(m2)} \vec{\mathbf{GM_2}} = \vec{\mathbf{0}} }$,

selon la définition du barycentre G, et

$\bf\color{blue}{ \vec{\mathbf{GM}} = \vec{\mathbf{M_1M_2}} = \vec{\mathbf{GM_2}} - \vec{\mathbf{GM_1}} }$ ,

selon la définition du point fictif M.


En substituant la deuxième formule dans le première, on trouve

$$\Large\bf\color{brown}{ \vec{\mathbf{GM_1}} = (\frac{\text {- m2}}{\text {m1 + m2}} ) \vec{\mathbf{GM}}\\ \vec{\mathbf{GM_2}} = (\frac{\text {m1}}{\text {m1 + m2}} ) \vec{\mathbf{GM}} }$$

Dans le référentiel barycentrique, les trajectoires des points pondérés (M1, m1), (M2, m2), et (M, μ) se déduisant les unes des autres.