Mécanique:
Moment cinétique

Moment cinétique

Le momemnt cinétique ou angulaire d'un système permet de rendre compte de la dynamique de rotation de ce système. Sa variation dan letemps représente le moment de la force exercée sur le système.

Le momemnt cinétique est une grandeur vectorielle dirigée perpendiculairement au plan de rotation du système. Elle est évaluée par rapport à un point.

Pour un corps de masse m et de vitesse $\vec{\mathbf{v}}$ donc de quantité de mouvement $\vec{\mathbf{P}} = \text{(m)} \vec{\mathbf{v}}$, et de vecteur position $\vec{\mathbf{r}}$, le moment angulaire s'ecrit:
$$\large\color{brown}{ \vec{\mathbf{L}} = \vec{\mathbf{r}} \times \vec{\mathbf{P}} }$$ Le moment cinétique d'un système se calcule dans un repère et par rapport à un centre.

On considère le système à deux corps (M1, m1) et (M2, m2):

1. Dans le référentiel du laboratoire (R):

1.1. Moment cinétique par rapport au point O,
origine du repère (R)

$$\large\color{brown}{ \vec{\mathbf{L_O}} = \vec{\mathbf{OM_1}} \times \text({m1)} \vec{\mathbf{v_{1O}}} + \vec{\mathbf{OM_2}} \times \text({m2)} \vec{\mathbf{v_{2O}}} }$$

1.2. Moment cinétique par rapport à un autre point A,
du repère (R)

$\color{brown}{ \vec{\mathbf{L_A}} = \vec{\mathbf{AM_1}} \times \text({m1)} \vec{\mathbf{v_{1A}}} + \vec{\mathbf{AM_2}} \times \text({m2)} \vec{\mathbf{v_{2A}}} }$

D'après la relation de Chasles:

$\vec{\mathbf{AM_1}} = \vec{\mathbf{AO}} + \vec{\mathbf{OM_1}}$

Puisque le point A est fixe, on a:


$\vec{\mathbf{\frac{dAM_1}{dt}}} = \vec{\mathbf{\frac{dAO}{dt}}} + \vec{\mathbf{\frac{dOM_1}{dt}}} = \\ 0 + \vec{\mathbf{v_{1O}}} = \vec{\mathbf{v_{1O}}}$

$\vec{\mathbf{\frac{dAM_2}{dt}}} = \vec{\mathbf{\frac{dAO}{dt}}} + \vec{\mathbf{\frac{dOM_2}{dt}}} = \\ 0 + \vec{\mathbf{v_{2O}}} = \vec{\mathbf{v_{2O}}}$

$\vec{\mathbf{v_{1A}}} = \vec{\mathbf{v_{1O}}} \\ \vec{\mathbf{v_{2A}}} = \vec{\mathbf{v_{2O}}}$

Donc:

$\color{blue}{ \vec{\mathbf{L_A}} = \vec{\mathbf{AO}} \times \text({m1)} \vec{\mathbf{v_{1A}}} + \vec{\mathbf{OM_1}} \times \text({m1)} \vec{\mathbf{v_{1A}}} + \\ \vec{\mathbf{AO}} \times \text({m2)} \vec{\mathbf{v_{2A}}} + \vec{\mathbf{OM_2}} \times \text({m2)} \vec{\mathbf{v_{2A}}} = \\ \text{ } \\ \vec{\mathbf{AO}} \times (\text({m1)} \vec{\mathbf{v_1O}} + \text({m2)} \vec{\mathbf{v_2O}}) + \\ \vec{\mathbf{OM_1}} \times \text({m1)} \vec{\mathbf{v_{1O}}} + \vec{\mathbf{OM_2}} \times \text({m2)} \vec{\mathbf{v_{2O}}} }$

Nous avons:

$\color{green}{ \vec{\mathbf{P_O}} = \text({m1)} \vec{\mathbf{v_{1O}}} + \text({m2)} \vec{\mathbf{v_{2O}}} \\ \vec{\mathbf{P_A}} = \text({m1)} \vec{\mathbf{v_{1A}}} + \text({m2)} \vec{\mathbf{v_{2A}}} }$

Le point étant fixe : $\large\color{blue}{ \vec{\mathbf{P_O}} = \vec{\mathbf{P_A}} }$

Nous avons aussi:

$\color{green}{ \vec{\mathbf{L_O}} = \vec{\mathbf{OM_1}} \times \text({m1)} \vec{\mathbf{v_{1O}}} + \vec{\mathbf{OM_2}} \times \text({m2)} \vec{\mathbf{v_{2O}}} }$

Finalement:
$$\large\color{red}{ \vec{\mathbf{L_A}} = \vec{\mathbf{L_O}} + \vec{\mathbf{AO}} \times \vec{\mathbf{P_A} } }$$

1.3. Moment cinétique par rapport au barycentre G
dans le repère (R)

Si on remplace A par G, on a:

$\color{green}{ \vec{\mathbf{L_G}} = \vec{\mathbf{L_O}} + \vec{\mathbf{GO}} \times \vec{\mathbf{P_G}} }$

Par définition du barycentre G:

$\vec{\mathbf{P_G}} = \text({m1)} \vec{\mathbf{v_{1G}}} + \text({m2)} \vec{\mathbf{v_{2G}}} = \vec{\mathbf{0}}$

On obtient alors:
$$\large\color{brown}{ \vec{\mathbf{L_G}} = \vec{\mathbf{L_O}} }$$
Le moment cinétique du sytème à deux corps, dans le repère (R), a la Même valeur par rapport au barycentre G et par rapport à l'origine du reférentiel (R).