Mécanique:
Système isolé à deux corps
Principe fondamental de la dynamique
Théorème de la résultante cinétique

1. Théorème de la résultante cinétique

On sait que la quantité de mouvement, appelée aussi résultante cinétique, d'un corps de masse m et animé d'une vitesse $\vec{\mathbf{v}}$, dans le référentiel (R) de centre O, est decrite par le relation :

$$\large\color{green}{\vec{\mathbf{P}} = \text{(m)} \vec{\mathbf{v}} }$$
En dérivant par rapport au temps, on obtientL

$\frac{d\vec{\mathbf{P}}}{dt} = \text{(m)} \frac{d\vec{\mathbf{v}}}{dt}$

$\text{(m)} \frac{d\vec{\mathbf{v}}}{dt} = \text{(m)}\vec{\mathbf{a}}$

$\vec{\mathbf{a}}$ est le vecteur accélération du corps dans le référentiel (R).

Mais $\text{(m)}\vec{\mathbf{a}} = \vec{\mathbf{F}}$, qui est le principe fondamental de la dynamique.

$\large\color{brown}{\vec{\mathbf{F}}}$ est la force appliquée au corps de masse m.

Il s'agit bien d'une force due à la variation de vitesse du corps, c'est donc une force extérieure au système .

On résume donc:

$$\large\color{blue}{ \frac{d\vec{\mathbf{P}}}{dt} = \vec{\mathbf{F_{ext}}} }$$
C'est le théorène de la résultante cinétique.

2. Théorème de la résultante cinétique
pour un système à deux corps

Nous avons:

$\frac{d\vec{\mathbf{P}}}{dt} = \text{(m1)} \frac{d\vec{\mathbf{v_1}}}{dt} + \text{(m2)} \frac{d\vec{\mathbf{v_2}}}{dt} = \\ \text{(m1)} \vec{\mathbf{a_1}} + \text{(m2)} \vec{\mathbf{a_2}} = \\ \vec{\mathbf{F_1}} + \vec{\mathbf{F_2}}$

Les forces $\vec{\mathbf{F_1}} \text{et} \vec{\mathbf{F_2}}$ ne sont pas les forces d’interaction entre M1 et M2, se sont des forces extérieures au système des deux corps.

Le théorène de la résultante cinétique s'ecrit:

$$\large\color{red}{ \frac{d\vec{\mathbf{P}}}{dt} = \sum_{i = 1}^{2}\vec{\mathbf{F_i}} }$$
Formule qui peut bien être généralisé pour des systèmes à N points matériels.

3. Cas du système isolé

Si le système de points matériels M1 et M2 est isolé, c'est à dire qu’aucune force extérieure ne s’exerce sur le système, alors:

$$\large\color{green}{ \sum_{i = 1}^{2}\vec{\mathbf{F_i}} = \vec{\mathbf{0}}} \;\; \small\bf\text{ou} \;\; \color{green}{ \frac{d\vec{\mathbf{P}}}{dt} = \vec{\mathbf{0}} }$$

C'est la deuxième loi de Newton, ou la première loi de la statique.