Mécanique:
Systèm à deux corps
billes de billard
Collision élastique

Les billes dans un billard ont toujours la même masse et la même taille. L'autre particularité c'est que les collisions sont toujours élastiques et que la masse cible est toujours au repos.

Une collision entre les billes de billard peut, dépendament des cas, être directe ou plane. Mais généralement les collisions sont à deux dimensions.

Collision des billes de billard

Écrivons les deux lois de conservation:

On projette les vecteurs collisions sur un axe horizontal de signe positif à droite.

La conservation de la quantité de mouvement a été écrite en projection sur l’axe horizontal.

Après simplification, on obtient:
$$\large\color{brown}{ \vec{\mathbf{v_1}} = \vec{\mathbf{v_1^*}} + \vec{\mathbf{v_2^*}} \\ v_1^2= v_1^{*2} + v_2^{*2} }$$
Mais le carré:    

$\large\color{red}{ \vec{\mathbf{v_1}}^2 = (\vec{\mathbf{v_1^*}} + \vec{\mathbf{v_2^*}})^2 = v_1^{*2} + 2 \vec{\mathbf{v_1^* }}.\vec{\mathbf{v_2^*}} + v_2^{*2} }$

Donc     $\large\color{blue}{ \vec{\mathbf{v_1^*}}.\vec{\mathbf{v_2^*}} = 0 }$ . C'est à dire $$\Large\color{green}{ \vec{\mathbf{v_1^*}} \perp \vec{\mathbf{v_2^*}} }$$
Les billes repartent à 90^o l’une de l’autre.

• Relations entre les vitesses
après la collision et les angles

Compte tenue de     $\large\color{olive}{ \vec{\mathbf{v_1^*}}.\vec{\mathbf{v_2^*}} = 0 }$,

Nous avons     $\large\color{indigo}{ \vec{\mathbf{v_1}}.\vec{\mathbf{v_1^*}} = v_1 v_1^* cos \theta_1 }$
D'autre part     $\large\color{indigo}{ \vec{\mathbf{v_1}}.\vec{\mathbf{v_1^*}} = (\vec{\mathbf{v_1^*}} + \vec{\mathbf{v_2^*}}).\vec{\mathbf{v_1^*}} = \vec{\mathbf{v_1^*}}^2 }$

Donc     $\large\color{teal}{ v_1^* = v_1 cos \theta_1 }$

De même     $\large\color{indigo}{ \vec{\mathbf{v_1}}.\vec{\mathbf{v_2^*}} = v_1 v_2^* cos \theta_2 = \\ (\vec{\mathbf{v_1^*}} + \vec{\mathbf{v_2^*}}).\vec{\mathbf{v_2^*}} = \vec{\mathbf{v_2^*}}^2 }$

$\large\color{teal}{ v_2^* = v_1 cos \theta_2 }$
$$\Large\color{blue}{ v_1^* = v_1 cos \theta_1 \\ v_2^* = v_1 cos \theta_2 }$$

• Relations entre les angles
et le paramètre d’impact b

Le paramètre d'impact b est lié au rayon R d'une bille par la relation:

$$\Large\color{olive}{ b = 2R sin \theta 2 }$$