Astronomie:
Compléments de Mathématiques
Équation de la trajectoire
1.Équation de la trajectoire du point M
soumis à une force centrale
L’énergie mécanique d'une particule de masse m soumise à une force centrale est :
\begin{equation}E_\mathrm{m} = E_\mathrm{C} + E_\mathrm{P} = \dfrac{1}{2}\,m\,\overset{\centerdot}{r}^2 + \dfrac{m\,C^2}{2\,r^2} + \dfrac{K}{r}\end{equation}
On cherche l’expression de r en fonction de \(\theta\): \(r(\theta)\).
On a : \(\overset{\centerdot}{r} = \dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\times \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}
= \overset{\centerdot}{\theta}\dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta} = \dfrac{C}{r^2}\dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\) .
L’expression de l’énergie mécanique devient :
\begin{equation}E_\mathrm{m}= \dfrac{m\,C^2}{2\,r^4}\left(\dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 + \dfrac{m\,C^2}{2\,r^2} + \dfrac{K}{r}\end{equation}
On utilise un changement de variable. On pose
\(u=\dfrac{1}{r}\) (\(r = \dfrac{1}{u}\)), on a donc \(\dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}=-\dfrac{1}{u^2}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\). Ainsi :
\begin{equation}\begin{aligned}
E_\mathrm{m}&= \dfrac{m\,C^2\,u^4}{2}\times \dfrac{1}{u^4} \times \left(\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 + \dfrac{m\,C^2\,u^2}{2} + K\,u \\
&= \dfrac{m\,C^2}{2} \left(\left(\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\right)^2+u^2\right) + K\,u\end{aligned}\end{equation}
L'énergie mécanique est constante. Donc:
\begin{equation}\begin{aligned}
\dfrac{\mathrm{d}E_\mathrm{m}}{\mathrm{d}\theta} = 0 \\
& m\,C^2 \left(\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\dfrac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}+u\,\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\right)+ K\,\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta} = 0 \\
& \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta} \left(m\,C^2\,\left(\dfrac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u\right)+K\right) = 0\end{aligned}\end{equation}
2.Solutions de l'équation de la trajectoire
On a donc:
Soit \(\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta} = 0\)
La fonction \(u(\theta)\), et donc \(r(\theta)\) est constante.
Nous avons une trajectoire circulaire. Soit \(m\,C^2\,\left(\dfrac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u\right)+K = 0\)
Cette équation différentielle du second ordre s'écrit :
\begin{equation}\dfrac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = \dfrac{-K}{m\,C^2}\end{equation}
Sa solution générale est la somme d’une solution particulière et de la solution de l’équation homogène. on obtient :
\begin{equation}u(\theta) = -\dfrac{K}{m\,C^2} + A\,\cos(\theta-\theta_0)\end{equation}
où \(A\) et \(\theta_0\) sont deux constantes déterminées par les conditions initiales. \(\theta_0\).
Il vient donc :
\begin{equation}\dfrac{1}{r} = \dfrac{-K + m\,C^2\,A\,\cos(\theta-\theta_0)}{m\,C^2}\end{equation}
L'expression de r est :
\begin{equation}r = \dfrac{m\,C^2}{-K + m\,C^2\,A\,\cos(\theta-\theta_0)} \end{equation}
\begin{equation}
r = \dfrac{p}{\epsilon + e\,\cos(\theta-\theta_0)}
\\
\\
\text{avec} \; \;p = \dfrac{m\,C^2}{|K|} \quad \text{et} \; \; e = \dfrac{A\,m\,C^2}{|K|} \end{equation}
\begin{equation}
\text{Cas d’une force répulsive (K > 0)} \; \epsilon = - 1 \\
\\
r = \dfrac{p}{- 1 + e\,\cos(\theta-\theta_0)}
\\
\\
\text{Cas d’une force attractive (K < 0)} \; \epsilon = + 1 \\
\\
r = \dfrac{p}{1 + e\,\cos(\theta-\theta_0)}
\end{equation}
On prend généralement \(\theta_0=0\).
\begin{equation}
\text{Cas d’une force (K > 0)} \; \epsilon = - 1 \\
\\
r = \dfrac{p}{- 1 + e\,\cos\theta}
\\
\\
\text{Cas d’une force attractive (K < 0)} \; \epsilon = + 1 \\
\\
r = \dfrac{p}{1 + e\,\cos\theta}
\end{equation}
Le mouvement d'un point matériel soumis à une force centrale
attractive (du type gravitationnelle ou de Newton) est
elliptique.
le parcourt du point sur l'ellipse se fait selon
la fonction:
\begin{equation}
r (\theta) = \dfrac{p}{1 + e\,\cos\theta}
\end{equation}
3. Équation polaire de la trajectoire: Les coniques
Dans l'équation polaire d'une conique, la valeur de
l’excentricité e determine la forme de la conique :
Force attractive \(K<0\)
\begin{equation}\text{ } K<0 \text{, } \;\; r = \dfrac{p}{1+e\cos \theta} \\
\text{ avec } p=\left|\dfrac{mC^2}{K}\right| \text{ et } e = \left|\dfrac{AmC^2}{K}\right| \\
(A = \mathrm{cste})\end{equation}
Si \(e=0\), la trajectoire est un cercle de centre O et de rayon \(p\) (\(r_c\). Le
(état lié. Si \(0<e<1\), la trajectoire est une ellipse de foyer O (état lié). Si \(e=1\), La trajectoire est une parabole (état de diffusion). Si \(e>1\), La trajectoire est une hyperbole (état de diffusion qui contourne).
Force répulsive \(K>0\)
\begin{equation}\text{} K>0 \text{, } r = \dfrac{p}{- 1 + e\cos \theta} \end{equation}
On obtient donc une hyperbole (état de diffusion, qui rebondit).
4. Energie mécanique et trajectoires
L'énergie mécanique peut s’exprimer en fonction des paramètres des
coniques:
\begin{equation}E_\mathrm{M}=-\dfrac{|K|}{2p}(1-e^2)= \dfrac{K^2}{2\,m\,C^2}(e^2 - 1)
\label{emeca}\end{equation}
Les valeurs de \(e\), donc celles de \(E_\mathrm{M}\) nous renseignent
directement la nature de la trajectoire :
- \(e < 1 \Longleftrightarrow E_M \lt 0\) : trajectoire elliptique (ou circulaire),
- \(e=1 \Longleftrightarrow E_M = 0\) : trajectoire parabolique,
- \(e > 1 \Longleftrightarrow E_M \gt 0\) : trajectoire hyperbolique.
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