Mathématiques 3: Algèbre linéaire
Valeurs propres et vecteurs propres

Valeurs propres et vecteurs propres

1. Définitions

Soit A une matrice carrée de format n x n. On dit qu'un nombre λ est une valeur propre de A s'il existe un vecteur non-nul X à n composantes tel que A X = λ X. Dans ce cas, on dit que X est un vecteur propre de A correspondant à la valeur propre λ.

Étant donnée une matrice carrée A de format n x n, les valeurs propres de A sont les solutions de l’équation:

det(A - λ I) = 0

où det(A - λ I) représente le déterminant de la matrice A - λ I et I est la matrice identité de même format que A.

En résolvant cette équation, on trouve les n valeurs propres λ de A d'ordre n x n.

Comment trouve-t-on alors les vecteurs propres de A?

Si X est un vecteur propre de A correspondant à la valeur propre λ, alors A X = λ X.

C'est à dire (A - λ I)X = 0. Ceci implique que chaque vecteur propre X de A est une solution du système homogène (A - λ I) X = 0, de n equations à n inconnues.

On définit alors l'espace propre E_λ correspondant à la valeur propre λ de A comme étant l'ensemble de tous les vecteurs propres correspondant à λ y compris le vecteur nul. En d’autres termes, E_λ représente l'ensemble de solutions du système (A - λI) X = 0.

3. Exemple 1: Suite de Fibonacci

Voici la suite de Fibonacci:

f0 = 1, f1 = 1, f2 = 2, f3 = 3, f4 = 5,...

En général:         f_n = f_n-1 + f_n-2

Construisons le vecteur V_n = (f_n+1, f_n)

V_n+1 = (f_n+2, f_n+1) = F (f_n+1, f_n) = F V_n

avec la matrice F, d'ordre 2 x 2 égale à:


• Ecrivons L'équation aux valeurs propres :

det(F - λI) = (1 - λ) x (-λ) - 1 = 0

ou λ² - λ - 1 = 0 , de solutions

λ₁ = (1 + √5)/2
λ₂ = (1 - √5)/2

• Calculons les vecteurs propres:

(F - λI) X = 0 , avec X = (x, y), donne

(1 - λ) x + y = 0
x - λ y = 0

On peut prendre y = 1 et donc x = λ:

X = (λ, 1)
Les deux vecteurs propres sont:

X1 = ((1 + √5)/2, 1)
X2 = ((1 - √5)/2, 1)

Qui sont respectivement des bases de l’espace propre E_λ1 et E_λ2.

Les vecteurs propres X1 et X2 forment la matrice de conjugaison P de la matrice F .

Voici la matrice D, P, et P^-1:



Décomposons la matrice F selon:

F = P D P^-1 , donc:

Fⁿ = P Dⁿ P^-1 , avec



Après avoir effectué les multiplications, on prend la deuxième composante du vecteur résultant. C'est le nième terme de la suite de Fibonacci:

Mantenant, puisque

V_n = F V_n-1 = F² V_n-2 = ... = Fⁿ V₀

Avec V₀ = (f₁, f₀) = (1,1) et V_n = (f_n+1, f_n)

f_n = (1/√5){[(1 + √)/2]ⁿ⁺¹ - [(1 - √5)/2]ⁿ⁺¹}

On peut donc calculer le 100ième terme de la suite de Fibonacci :

f₁₀₀ = (1/√5){[(1 + √)/2]¹⁰¹ - [(1 - √5)/2]¹⁰¹}

On peut négliger le deuxième terme : [(1 - √5)/2]¹⁰¹ pour obtenir une valeur de 573 147 844 013 817 084 101.

f₁₀₀ = 573 147 844 013 817 084 101

On rappelle que le nombre φ = (1 + √5)/2 est appelé nombre d’or .

2. Exemple 2: Deux masses liées par
trois ressorts

    On considère deux blocs de masses respectives m1 et m2 liés l'un à l'autre par un ressort de constante de raideur k2 . Le bloc de masse m1 est lié à un point d'ancrage fixe par l'intermédiaire d'un ressort de constante de raideur k1 et, à l'autre extrémité du système, le bloc de masse m2 est lié à un point d'ancrage fixe par l'intermédiaire d'un ressort de constante de raideur k3.

La masse des ressorts est négligeable et on suppose que l'amplitude de déplacement des deux blocs est toujours suffisamment faible pour que la loi de Hooke soit vérifiée.

Finalement, tous les frottements sont considérés comme négligeables.

On considère que les blocs sont de masse identique de sorte que m1 = m2 et et que les ressorts ont la même constante de raideur k1 = k2 = k3,

Ecrivons:

O1M1 = x1
O2M2 = x2

m d²x1/dt² = T2 - T1 = kx2 - 2kx1
m d²x2/dt² = - T3 - T4 = - 2kx2 + kx1

Soit

m d²x1/dt² = - 2k x1 + k x2
m d²x2/dt² = k x1 - 2k x2

Sous forme vectorielle, ce système s'écrit :

d²/dt² = R , Avec


et = (x1(t), x2(t))


On cherche alors une solution réelle de la forme
= _o exp{iωt} .

En dérivant deux fois cette solution par rapport au temps et en remplaçant dans l'équation vectorielle, il vient :

ω²_o = R _o

En posant λ = ω² , on a alors un problème aux valeurs propres
R _o = λ_o

avec λ valeur propre de R et _o vecteur propre de R.

Pour déterminer les valeurs propres, il faut résoudre :

det(R = λI) = 0

Ce qui conduit à l'équation:

λ² + 4(k/m) λ + 3(k/m)² = 0

Une équation du second degré avec deux solutions possibles , valeurs propres de R:

λ₁ = - k/m
λ₂ = - 3k/m

Pour déterminer les vecteurs propres, il faut résoudre :

R₁ = λ₁₁ et
R₂ = λ₂₂

Avec ₁ = (x1, y1) , et ₂ = (x2, y2).

• Pour λ₁ , on trouve x1 = y1. On choisit ₁ = (1, 1)
• Pour λ₂ , on trouve x2 = - y2. On choisit ₂ = (1, - 1)


₁ = (1, 1): le vecteur propre associé à
la valeur propre λ₁ = - k/m

₂ = (1, - 1): le vecteur propre associé à
la valeur propre λ₂ = - 3k/m