Mathématiques 3: Algèbre linéaire
Les vecteurs
Théorèmes du milieu

1. Théorème du milieu

On veut montrer que le segment de droite joignant les points milieux de deux côtés quelconques d'un triangle est parallèle au troisième côté et de longueur égale à sa moitié.

On considère un triangle quelconque ABC. E est le milieu du côté AC et D le milieu du côté AB. Il s'agit de démontrer que:

= (1/2)

Selon la définition de l'addition vectorielle, on peut ecrire:

= +

Les vecteurs et sont opposés. Alors = - et on a :

= - +

Puisque D est le milieu de AB, on peut ecrire:

= (1/2) , et de même = (1/2)

Ainsi:

= (- 1/2) + (1/2) = (1/2)(- + ) =
(1/2)( + ) = (1/2)

= (1/2)

2. Milieu d'un segment de droite

Soit M le point milieu d'un segment de droite AB, et O un point quelconque de l'espace. On veu montrer que:

= (1/2) + (1/2)

À partir de la définition d'une addition vectorielle, on effectue des transformations de manière à arriver au résultat:

= + = + (1/2)
= + (1/2) ( + ) = + (1/2) (- + )
= - (1/2) + (1/2) = (1 - (1/2)) + (1/2)
= (1/2) + (1/2) = (1/2) + (1/2)

= (1/2) + (1/2)

3. Parallélogramme et milieux des côtés

ABCD est un parallélogramme. E est le milieu de AB , et F le milieu de CD.

On veut montrer que AECF est un parallélogramme.

ABCD est un parallélogramme, donc
= et =

On veut montrer que:

= et =

Considérons le vecteur

= + = + (1/2)

D'autre part pour le vecteur

= + = (1/2) +

On a donc

=

+ = +

=

AECF est un parallélogramme.

4. Triangle et milieux des côtés

ABC est un triangle. D , E et F sont respectivement les milieux des côtes AB , BC et AC. On veut montrer que:

+ =


+ = + + +

+ = + (1/2) + + (1/2)

= + (3/2) + (1/2) ( + )

= + (1/2) + (3/2) + (1/2)

= (1/2) +

D'autre part

= +

= (1/2) +

D'où:

+ =

Relation des médianes vecteurs: